এই কোয়ান্টাম জগৎ/তাৎপর্য ও প্রয়োগ/পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি ও অপারেটর

পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি ও অপারেটর

গড় মানগুলোর কথা মনে করা যাক:

$⟨x⟩=\int |\psi {|}^{2}xdx\text{and}⟨p⟩=\hslash ⟨k⟩=\int |\bar{\psi }{|}^2\hslash kdk.$

পূর্বে যেমনটি বলা হয়েছে, আমরা যদি এই অপারেটরগুলোকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করি:

$\hat{x}=x$ ("$x$ দ্বারা গুণ") এবং $\hat{p}=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x},$

তাহলে আমরা লিখতে পারি:

$⟨x⟩=\int {\psi }^{\ast }\hat{x}\psi dx\text{and}⟨p⟩=\int {\psi }^{\ast }\hat{p}\psi dx.$

একইভাবে,

$⟨E⟩=\int {\psi }^{\ast }\hat{E}\psi dx\text{with}\hat{E}=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}.$

অন্তরক অপারেটর $\partial /\partial \varphi$-এর সাথে কোন পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশিটি যুক্ত? যদি $r$ এবং $\theta$ ধ্রুবক হয় (যেমনটি $\varphi$-এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরজের ক্ষেত্রে প্রয়োজন), তবে $z$-ও ধ্রুবক হবে। ফলে,

$\frac{\partial \psi }{\partial \varphi }=\frac{\partial y}{\partial \varphi }\frac{\partial \psi }{\partial y}+\frac{\partial x}{\partial \varphi }\frac{\partial \psi }{\partial x}.$

যেহেতু $x=r\sin \theta \cos \varphi$ এবং $y=r\sin \theta \sin \varphi$, তাই সমীকরণটি সমাধান করলে পাওয়া যায় $x\frac{\partial \psi }{\partial y}-y\frac{\partial \psi }{\partial x}$ বা

$-i\hslash \frac{\partial }{\partial \varphi }=\hat{x}{\hat{p}}_y-\hat{y}{\hat{p}}_x.$

চিরায়ত বলবিদ্যা অনুযায়ী কক্ষপথীয় কৌণিক ভরবেগ হলো $𝐋=𝐫\times 𝐩$, অর্থাৎ $L_z=x{p}_y-y{p}_x$। সুতরাং, এটি স্পষ্ট যে আমাদের $\hat{x}{\hat{p}}_y-\hat{y}{\hat{p}}_x$-কে পরমাণুর কৌণিক ভরবেগের $z$ উপাংশের সাথে যুক্ত অপারেটর ${\hat{l}}_z$ হিসেবে বিবেচনা করা উচিত।

তবে চিরায়ত সংজ্ঞার ওপর ভিত্তি করে কোয়ান্টাম বলবিদ্যার সংজ্ঞাগুলো তৈরি করার সময় আমাদের সতর্ক হতে হবে। নিচে কোয়ান্টাম বলবিদ্যাভিত্তিক সংজ্ঞাগুলো দেওয়া হলো:

ধরা যাক, $K$ স্বাধীনতার মাত্রা বিশিষ্ট একটি বদ্ধ সিস্টেম $𝒮$-এর তরঙ্গ ফাংশন হলো $\psi (q_k,t)$। ধরে নেওয়া যাক, এর সম্ভাব্যতা বিন্যাস $|\psi (q_k,t){|}^2$ (যা মূলত $|\psi (q_1,\dots ,q_K,t){|}^2$-এর সংক্ষিপ্ত রূপ) সময়ের স্থানান্তরের সাপেক্ষে অপরিবর্তনশীল। অর্থাৎ, যেকোনো সময় ব্যবধান $\tau$ অতিবাহিত হলেও এর কোনো পরিবর্তন হয় না:

$|\psi (q_k,t){|}^2=|\psi (q_k,t+\tau ){|}^2.$

এর ফলে $\psi$-এর সময়-নির্ভরশীলতা কেবল একটি দশা উৎপাদক $e^{i\alpha (q_k,t)}$-এর মধ্যেই সীমাবদ্ধ থাকে।

আরও ধরে নেওয়া যাক, সময়ের স্থানাঙ্ক $t$ এবং স্থানের স্থানাঙ্ক $q_k$ সমসত্ব; অর্থাৎ সমান ব্যবধানগুলো ভৌতভাবে সমতুল্য। যেহেতু $𝒮$ একটি বদ্ধ সিস্টেম, তাই দশা উৎপাদক $e^{i\alpha (q_k,t)}$ স্থানাঙ্ক $q_k$-এর ওপর নির্ভর করতে পারে না। এর দশা সর্বোচ্চ রৈখিকভাবে $t$-এর ওপর নির্ভর করতে পারে। কারণ, $2\tau$ সময় অপেক্ষা করার প্রভাব, দুবার $\tau$ সময় অপেক্ষা করার সমান হওয়া উচিত। অন্য কথায়, তরঙ্গ ফাংশনকে $e^{i\alpha (2\tau )}$ দ্বারা গুণ করার প্রভাব এবং একে পরপর দুবার $e^{i\alpha (\tau )}$ দ্বারা গুণ করার প্রভাব অভিন্ন হবে:

$e^{i\alpha (2\tau )}=[e^{i\alpha (\tau )}{]}^2=e^{i2\alpha (\tau )}.$

সুতরাং,

$\psi (q_k,t)=\psi (q_k)e^{-i\omega t}=\psi (q_k)e^{-(i/\hslash )Et}.$

সুতরাং, একটি বদ্ধ সিস্টেমের জন্য একটি ধ্রুবক বা সংরক্ষিত রাশি $\omega$ অথবা (প্রচলিত এককে) $E$-এর অস্তিত্ব পাওয়া যায়। সিস্টেমের শক্তি বলতে আমরা মূলত এটিকেই বুঝি।

এবার ধরা যাক, $|\psi (q_k,t){|}^2$ কোনো একটি স্থানিক স্থানাঙ্ক (ধরা যাক $q_j$) বরাবর স্থানান্তরের সাপেক্ষে অপরিবর্তনশীল:

$|\psi (q_j,q_{k\ne j},t){|}^2=|\psi (q_j+\kappa ,q_{k\ne j},t){|}^2.$

এক্ষেত্রেও $q_j$-এর ওপর $\psi$-এর নির্ভরশীলতা কেবল একটি দশা উৎপাদক $e^{i\beta (q_k,t)}$-এর মধ্যেই সীমাবদ্ধ থাকবে।

আবারও ধরে নেওয়া যাক, সময়ের স্থানাঙ্ক $t$ এবং স্থানাঙ্ক $q_k$ সমসত্ব। যেহেতু $𝒮$ একটি বদ্ধ সিস্টেম, তাই দশা উৎপাদক $e^{i\beta (q_k,t)}$ অন্য কোনো স্থানাঙ্ক $q_{k\ne j}$ বা সময়ের ($t$) ওপর নির্ভর করতে পারে না। এর দশা সর্বোচ্চ রৈখিকভাবে কেবল $q_j$-এর ওপর নির্ভর করতে পারে। কারণ, সিস্টেমটিকে $2\kappa$ পরিমাণ স্থানান্তরিত করার প্রভাব, পরপর দুবার $\kappa$ পরিমাণ স্থানান্তরিত করার সমান। অন্য কথায়, তরঙ্গ ফাংশনকে $e^{i\beta (2\kappa )}$ দ্বারা গুণ করার প্রভাব এবং একে পরপর দুবার $e^{i\beta (\kappa )}$ দ্বারা গুণ করার প্রভাব অভিন্ন হবে:

$e^{i\beta (2\kappa )}=[e^{i\beta (\kappa )}{]}^2=e^{i2\beta (\kappa )}.$

সুতরাং,

$\psi (q_k,t)=\psi (q_{k\ne j},t)e^{i{k}_j{q}_k}=\psi (q_{k\ne j},t)e^{(i/\hslash )p_j{q}_k}.$

সুতরাং, একটি বদ্ধ সিস্টেমের জন্য একটি সংরক্ষিত রাশি $k_j$ বা (প্রচলিত এককে) $p_j$-এর অস্তিত্ব পাওয়া যায়। এটিই হলো সিস্টেমের ভরবেগের j-উপাংশ।

নিশ্চয়ই বিষয়টি এখন স্পষ্ট। তাছাড়া, স্থানিক স্থানাঙ্কগুলো গোলকীয় স্থানাঙ্ক $r,\theta ,\varphi$-ও হতে পারে। যদি $|\psi (r,\theta ,\varphi ,t){|}^2$ রাশিটি $z$-অক্ষের চারপাশের ঘূর্ণনের সাপেক্ষে অপরিবর্তনশীল হয় এবং অনুদৈর্ঘ্য স্থানাঙ্ক $\varphi$ সমসত্ব হয়, তবে:

$\psi (r,\theta ,\varphi ,t)=\psi (r,\theta ,t)e^{im\varphi }=\psi (r,\theta ,t)e^{(i/\hslash )l_z\varphi }.$

এক্ষেত্রে এই সংরক্ষিত রাশিটিকে আমরা সিস্টেমের কৌণিক ভরবেগের $z$-উপাংশ বলি।

---

ধরা যাক, $O$ একটি পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি এবং $\hat{O}$ হলো এর সংশ্লিষ্ট অপারেটর। আরও ধরা যাক, ${\psi }_{\hat{O},v}$ নিচের সমীকরণটি সিদ্ধ করে:

$\hat{O}{\psi }_{\hat{O},v}=v{\psi }_{\hat{O},v}.$

এক্ষেত্রে আমরা বলি যে, ${\psi }_{\hat{O},v}$ হলো $\hat{O}$ অপারেটরের একটি আইগেনফাংশন বা আইগেনস্টেট এবং এর সংশ্লিষ্ট আইগেনমান হলো $v$। এখন ${\psi }_{\hat{O},v}$-এর জন্য $O$-এর গড় মান এবং পরিমিত ব্যবধান গণনা করা যাক। সহজেই দেখানো যায় যে,

$⟨O⟩=\int {\psi }_{\hat{O},v}^{\ast }\hat{O}{\psi }_{\hat{O},v}dx=\int {\psi }_{\hat{O},v}^{\ast }v{\psi }_{\hat{O},v}dx=v\int |{\psi }_{\hat{O},v}{|}^{2}dx=v.$

অতএব,

$\mathrm{\Delta }O=\sqrt{\int {\psi }_{\hat{O},v}^{\ast }(\hat{O}-v)(\hat{O}-v){\psi }_{\hat{O},v}dx}=0,$

কারণ $(\hat{O}-v){\psi }_{\hat{O},v}=0$। সুতরাং, ${\psi }_{\hat{O},v}$ অবস্থায় থাকা কোনো সিস্টেমের জন্য $O$ রাশিটি বিচ্ছুরণ-মুক্ত (dispersion-free)। ফলে, $v$ ধারণকারী যেকোনো ব্যবধিতে $O$-এর মান পাওয়ার সম্ভাবনা হলো ১। আবার, আমরা দেখতে পাই যে:

$\hat{E}\psi (q_k)e^{-(i/\hslash )Et}=E\psi (q_k)e^{-(i/\hslash )Et}$

${\hat{p}}_j\psi (q_{k\ne j},t)e^{(i/\hslash )p_j{q}_k}=p_j\psi (q_{k\ne j},t)e^{(i/\hslash )p_j{q}_k}$

${\hat{l}}_z\psi (r,\theta ,t)e^{(i/\hslash )l_z\varphi }=l_z\psi (r,\theta ,t)e^{(i/\hslash )l_z\varphi }.$

কাজেই, এটি স্পষ্ট যে ${\hat{l}}_z$ হলো পরমাণুর কৌণিক ভরবেগের $z$-উপাংশের সাথে যুক্ত অপারেটর।

এখানে লক্ষণীয় যে, এই অপারেটরগুলোর যেকোনোটির আইগেনফাংশন এমন সিস্টেমের প্রতিনিধিত্ব করে যার জন্য সংশ্লিষ্ট পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশিটি 'সুনির্দিষ্ট'। অর্থাৎ, এর অনিশ্চয়তা বা পরিমিত ব্যবধান শূন্য হয়।

একইভাবে আমরা পাই:

${\hat{l}}_x=-i\hslash (y\frac{\partial }{\partial z}-z\frac{\partial }{\partial y})\text{এবং}{\hat{l}}_y=-i\hslash (z\frac{\partial }{\partial x}-x\frac{\partial }{\partial z}).$

আমরা যদি কমিউটেটর $[\hat{A},\hat{B}]\equiv \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$ সংজ্ঞায়িত করি, তবে $\hat{A}$ ও $\hat{B}$ অপারেটর দুটি 'কমিউট করে' বলার অর্থ হলো এদের কমিউটেটর শূন্য। আমরা পরবর্তীতে প্রমাণ করব যে, দুটি পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি কেবল তখনই সুসংগত (compatible) (অর্থাৎ একই সাথে পরিমাপযোগ্য) হবে, যদি তাদের অপারেটরগুলো পরস্পর কমিউট (commute) করে।

অনুশীলনী: দেখান যে, $[{\hat{l}}_x,{\hat{l}}_y]=i\hslash {\hat{l}}_z.$

একইভাবে দেখানো যায় যে, $[{\hat{l}}_y,{\hat{l}}_z]=i\hslash {\hat{l}}_x$ এবং $[{\hat{l}}_z,{\hat{l}}_x]=i\hslash {\hat{l}}_y$। এর অর্থ হলো, কোনো সিস্টেমের কৌণিক ভরবেগের ভিন্ন ভিন্ন উপাংশগুলো পরস্পর অসংগত (incompatible)।

অনুশীলনী: ওপরের কমিউটেটরগুলো ব্যবহার করে দেখান যে, $\widehat{{𝐋}^2}\equiv {\hat{l}}_x^2+{\hat{l}}_y^2+{\hat{l}}_z^2$ অপারেটরটি ${\hat{l}}_x,$ ${\hat{l}}_y,$ এবং ${\hat{l}}_z$-এর সাথে কমিউট করে।