এই কোয়ান্টাম জগৎ/তাৎপর্য ও প্রয়োগ/হাইড্রোজেনের বাইরে: পর্যায় সারণি

হাইড্রোজেনের বাইরে: পর্যায় সারণি

আমরা যদি আবারও ধরে নিই যে নিউক্লিয়াসটি কেন্দ্রে স্থির রয়েছে এবং আপেক্ষিকতা ও স্পিনের প্রভাবগুলো উপেক্ষা করি, তবে হিলিয়ামের স্থিতিশীল অবস্থাগুলো নিচের সমীকরণের সমাধান থেকে পাওয়া যায়:

$E\frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}[\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y_1^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z_1^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y_2^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z_2^2}]+[-\frac{2e^2}{r_1}-\frac{2e^2}{r_2}+\frac{e^2}{r_{12}}]\psi .$

এখানে তরঙ্গ ফাংশনটি ছয়টি স্থানাঙ্কের ওপর নির্ভর করে এবং বিভব শক্তি $V$ তিনটি পদের সমন্বয়ে গঠিত। $r_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$ এবং $r_2=\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}$ দ্বারা যথাক্রমে নিউক্লিয়াস থেকে ইলেকট্রন দুটির দূরত্ব বোঝায়। আর $r_{12}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$ হলো ইলেকট্রন দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব। দুটি ইলেকট্রন যথাক্রমে $r_1$ ও $r_2$ অবস্থানে থাকলে তাদের পারস্পরিক বিকর্ষণজনিত বিভব শক্তিকে $e^2/r_{12}$ হিসেবে বিবেচনা করা যায়।

কিন্তু দুটি ইলেকট্রনের জন্য আলাদা আলাদা তরঙ্গ ফাংশন নেই কেন? নিউক্লিয়াসের সাপেক্ষে প্রথম ইলেকট্রনটিকে $A$ অঞ্চলে এবং দ্বিতীয়টিকে $B$ অঞ্চলে খুঁজে পাওয়ার যৌথ সম্ভাব্যতা নিচের সমীকরণটি দিয়ে প্রকাশ করা যায়:

$p(A,B)={\int }_A{d}^3{r}_1{\int }_B{d}^3{r}_2|\psi ({𝐫}_1,{𝐫}_2){|}^2.$

প্রথম ইলেকট্রনকে $A$ অঞ্চলে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা যদি দ্বিতীয় ইলেকট্রনের অবস্থানের ওপর নির্ভর না করত, তবে আমরা এর জন্য একটি পৃথক তরঙ্গ ফাংশন ${\psi }_1({𝐫}_1)$ নির্ধারণ করতে পারতাম। একইভাবে, দ্বিতীয় ইলেকট্রনকে $B$ অঞ্চলে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা যদি প্রথম ইলেকট্রনের অবস্থানের ওপর নির্ভর না করত, তবে এর জন্যও একটি তরঙ্গ ফাংশন ${\psi }_2({𝐫}_2)$ নির্ধারণ করা যেত। এমন পরিস্থিতিতে, মোট তরঙ্গ ফাংশন $\psi ({𝐫}_1,{𝐫}_2)$-কে এই দুটি তরঙ্গ ফাংশনের গুণফল ${\psi }_1({𝐫}_1){\psi }_2({𝐫}_2)$ হিসেবে প্রকাশ করা যেত। তখন যৌথ সম্ভাব্যতা $p(A,B)$ হতো $p(A)={\int }_A{d}^3{r}_1|\psi ({𝐫}_1){|}^2$ এবং $p(B)={\int }_B{d}^3{r}_2|\psi ({𝐫}_2){|}^2$-এর গুণফলের সমান। কিন্তু সাধারণভাবে, বিশেষ করে হিলিয়াম পরমাণুর ভেতরে, প্রথম ইলেকট্রনের অবস্থানের সম্ভাব্যতা বিন্যাস দ্বিতীয় ইলেকট্রনের অবস্থানের ওপর নির্ভর করে (এবং বিপরীতটিও সত্য)। কারণ চিরায়ত পদার্থবিজ্ঞানের ভাষায়, ইলেকট্রন দুটি পরস্পরকে বিকর্ষণ করে।

সর্বনিম্ন শক্তিস্তরগুলোর জন্য সাংখ্যিক পদ্ধতির মাধ্যমে ওপরের সমীকরণটি সমাধান করা হয়েছে। তবে তিন বা ততোধিক ইলেকট্রন থাকলে সংশ্লিষ্ট শ্রোডিঙার সমীকরণের নিখুঁত সমাধান বের করা অসম্ভব। তা সত্ত্বেও, নিচের আসন্ন তত্ত্বটি ব্যবহার করে পর্যায় সারণি এবং রাসায়নিক মৌলগুলোর অনেক বৈশিষ্ট্য সহজেই বোঝা যায়।

প্রথমত, আমরা ইলেকট্রনগুলোর মধ্যকার পারস্পরিক মিথস্ক্রিয়ার বিস্তারিত বিবরণ উপেক্ষা করি। এরপর, যেহেতু পরমাণুর রাসায়নিক ধর্ম মূলত তাদের সবচেয়ে বাইরের স্তরের ইলেকট্রনগুলোর ওপর নির্ভর করে, তাই আমরা প্রতিটি পরমাণুকে একটি বিশেষ বিভবের অধীনে বিবেচনা করি। এই বিভবটি মূলত (i) নিউক্লিয়াস এবং (ii) অন্যান্য ইলেকট্রনের প্রতিনিধিত্বকারী একটি অবিচ্ছিন্ন ও গোলকীয়ভাবে প্রতিসম আধান বিন্যাসের কারণে সৃষ্টি হয়। এখানে আমরা স্পিনের প্রভাবগুলোকে উপেক্ষা করব, তবে কেবলমাত্র পাউলির বর্জন নীতিটি বিবেচনায় রাখব। এই নীতি অনুযায়ী, হুবহু একই বৈশিষ্ট্যসম্পন্ন দুটি ইলেকট্রনকে (বা সাধারণভাবে দুটি ফার্মিয়নকে) একই অবস্থায় খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা হলো শূন্য। সুতরাং, দুটি ইলেকট্রনকে হুবহু একই তরঙ্গ ফাংশনের সাথে যুক্ত করা যেতে পারে, তবে শর্ত থাকে যে তাদের স্পিন বা ঘূর্ণন অবস্থা ভিন্ন হতে হবে। যেমন, কোনো নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে ইলেকট্রন দুটির স্পিন পরিমাপ করলে ফলাফলগুলো সম্পূর্ণ বিপরীতমুখী বা ঋণাত্মক-সহসম্পর্কযুক্ত হবে—একটি হবে "স্পিন-আপ" এবং অন্যটি "স্পিন-ডাউন"। যেহেতু এখানে কেবল দুটি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে, তাই তৃতীয় কোনো ইলেকট্রনকে আর একই তরঙ্গ ফাংশনের সাথে যুক্ত করা সম্ভব নয়।

এই আসন্ন তত্ত্বটি প্রতিটি স্বতন্ত্র ইলেকট্রনের জন্য স্থিতিশীল তরঙ্গ ফাংশন ${\psi }_{nlm}(𝐫)$ প্রদান করে, যাদেরকে অরবিটাল বলা হয়। এগুলো হাইড্রোজেনের একক ইলেকট্রনের জন্য পাওয়া স্থিতিশীল তরঙ্গ ফাংশনের মতোই। তবে ব্যাসার্ধ স্থানাঙ্কের ওপর এগুলোর নির্ভরশীলতা কিছুটা পরিবর্তিত হয়, কারণ অবশিষ্ট ইলেকট্রনগুলোর ঋণাত্মক আধানের একটি প্রভাব এখানে কাজ করে। এই পরিবর্তনের ফলে, একই প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা$n$ কিন্তু ভিন্ন সহকারী কোয়ান্টাম সংখ্যা $l$ বিশিষ্ট অরবিটালগুলোর শক্তি আর সমান থাকে না। যেকোনো $n\ge 1$-এর জন্য, উচ্চতর $l$ বিশিষ্ট অরবিটালগুলোর ক্ষেত্রে ইলেকট্রন ও নিউক্লিয়াসের মধ্যকার গড় দূরত্ব বেশি হয়। আর এই দূরত্ব যত বাড়ে, অবশিষ্ট ইলেকট্রনগুলোর ঋণাত্মক আধান নিউক্লিয়াসের ধনাত্মক আধানকে তত বেশি আড়াল করে রাখে। ফলস্বরূপ, একই $n$-এর ক্ষেত্রে উচ্চতর ;$l$ বিশিষ্ট একটি ইলেকট্রন নিউক্লিয়াসের সাথে তুলনামূলকভাবে শিথিলভাবে আবদ্ধ থাকে, ফলে এর আয়নীকরণ শক্তিও কম হয়।

রসায়নবিদরা অরবিটালগুলোকে তাদের প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা অনুযায়ী বিভিন্ন স্তরে ভাগ করেন। আমরা আগেই দেখেছি, $n$-তম স্তরটি সর্বোচ্চ $n^2\times 2$ সংখ্যক ইলেকট্রন ধারণ করতে পারে। হিলিয়ামের প্রথম স্তরটি সম্পূর্ণ পূর্ণ থাকে এবং দ্বিতীয় স্তরটি খালি থাকে। যেহেতু হিলিয়াম নিউক্লিয়াসের আধান হাইড্রোজেন নিউক্লিয়াসের আধানের দ্বিগুণ, তাই এর ইলেকট্রন দুটি গড়ে হাইড্রোজেনের একক ইলেকট্রনের চেয়ে নিউক্লিয়াসের অনেক কাছাকাছি অবস্থান করে। ফলে হিলিয়ামের আয়নীকরণ শক্তি অনেক বেশি হয় (২৩৭২.৩ ;জুল/মোল), যেখানে হাইড্রোজেনের ক্ষেত্রে এই মানটি মাত্র ১৩১২.০ ;জুল/মোল। অন্যদিকে, একটি ঋণাত্মক হিলিয়াম আয়ন তৈরি করার জন্য যদি আরেকটি ইলেকট্রন যোগ করার চেষ্টা করা হয়, তবে সেটিকে দ্বিতীয় স্তরে যেতে হবে। কিন্তু প্রথম স্তরের ইলেকট্রনগুলো নিউক্লিয়াসের আধানকে প্রায় সম্পূর্ণ আড়াল করে রাখায় দ্বিতীয় স্তরটি তেমন কোনো আকর্ষণ বল অনুভব করে না। তাই হিলিয়াম যেমন সহজে ইলেকট্রন ছাড়তে চায় না, তেমনি অতিরিক্ত ইলেকট্রন গ্রহণও করতে পারে না। পর্যায় সারণির একেবারে ডানদিকের স্তম্ভের অন্যান্য মৌলের মতো হিলিয়ামও রাসায়নিকভাবে নিষ্ক্রিয়।

পর্যায় সারণির দ্বিতীয় সারিতে দ্বিতীয় স্তরটি পূর্ণ হতে শুরু করে। যেহেতু ২p অরবিটালগুলোর শক্তি ২s অরবিটালের চেয়ে বেশি, তাই ২s অরবিটালটি আগে পূর্ণ হয়। প্রতিটি নতুন ইলেকট্রন (এবং প্রোটন) যুক্ত হওয়ার সাথে সাথে পুরো ইলেকট্রন বিন্যাসটি নিউক্লিয়াসের আকর্ষণে ভেতরের দিকে সংকুচিত হয়। এর ফলে আয়নীকরণ শক্তি লিথিয়ামের (পারমাণবিক সংখ্যা Z=3) ৫২০.২ ;জুল/মোল থেকে বৃদ্ধি পেয়ে নিয়নের (Z=10) ক্ষেত্রে ২০৮০.৮ ;জুল/মোল হয়। লিথিয়াম সহজেই একটি ইলেকট্রন বর্জন করতে পারে, অন্যদিকে দ্বিতীয় স্তরে মাত্র একটি খালি স্থান থাকা ফ্লোরিনের (Z=9) একটি ইলেকট্রন গ্রহণ করার তীব্র প্রবণতা থাকে। এ কারণে এই দুটি মৌলই রাসায়নিকভাবে অত্যন্ত সক্রিয়। সোডিয়াম (Z=11) থেকে আর্গন (Z=18) পর্যন্ত মৌলগুলোর ক্ষেত্রেও লিথিয়াম থেকে নিয়নের মতোই একই রকম পরিবর্তন দেখা যায়।

তবে এই আয়নীকরণ শক্তির ক্রমে একটি ব্যতিক্রমী বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করা যায়। যেমন, অক্সিজেনের (Z=8, ১৩১৩.৯ ;জুল/মোল) আয়নীকরণ শক্তি নাইট্রোজেনের (Z=7, ১৪০২.৩ ;জুল/মোল) চেয়ে কম। একইভাবে সালফারের (Z=16, ৯৯৯.৬ ;জুল/মোল) আয়নীকরণ শক্তি ফসফরাসের (Z=15, ১০১১.৮ ;জুল/মোল) চেয়ে কম। এমনটি কেন হয় তা বুঝতে হলে আমাদের ইলেকট্রনগুলোর মধ্যকার পারস্পরিক বলের কিছু সূক্ষ্ম বিষয় বিবেচনা করতে হবে, যা আমরা এতক্ষণ এড়িয়ে গিয়েছি।

ধরা যাক, কার্বনের (Z=6) দুটি ২p ;ইলেকট্রনের একটি $z$ ;অক্ষের সাপেক্ষে $m=0$ অরবিটালে প্রবেশ করল। তাহলে অন্য ২p ;ইলেকট্রনটি কোথায় যাবে? এটি এমন একটি খালি অরবিটালে যাবে যাতে ইলেকট্রন দুটির মধ্যকার গড় দূরত্ব সবচেয়ে বেশি হয় এবং পারস্পরিক বিকর্ষণ সর্বনিম্ন থাকে। এটি $z$ ;অক্ষের সাপেক্ষে $|m|=1$ বিশিষ্ট অরবিটালগুলোর কোনোটি হবে না, বরং $z$ ;অক্ষের সাথে লম্ব অন্য কোনো অক্ষের সাপেক্ষে $m=0$ বিশিষ্ট একটি অরবিটাল হবে। আমরা যদি একে $x$ ;অক্ষ বলি, তবে নাইট্রোজেনের তৃতীয় ২p ;ইলেকট্রনটি $y$ ;অক্ষের সাপেক্ষে $m=0$ বিশিষ্ট অরবিটালে যাবে। এরপর অক্সিজেনের চতুর্থ ২p ;ইলেকট্রনটির জন্য আর কোনো খালি অরবিটাল অবশিষ্ট থাকে না। তাই বাধ্য হয়ে এটিকে বিপরীত স্পিনসহ ইতিমধ্যে পূর্ণ একটি ২p ;অরবিটালেই প্রবেশ করতে হয়। এটি ইলেকট্রনটির শক্তি উল্লেখযোগ্যভাবে বাড়িয়ে দেয়, যা নাইট্রোজেন থেকে অক্সিজেনে যাওয়ার সময় আয়নীকরণ শক্তি হ্রাস পাওয়ার কারণ ব্যাখ্যা করে।

৩p ;অরবিটালগুলো পূর্ণ হওয়ার সময়, আড়ালকরণ বা স্ক্রিনিং প্রভাবের কারণে ৩d ;অবস্থাগুলোর শক্তি এতটাই বেড়ে যায় যে ৪s ;অবস্থার শক্তি তার চেয়ে কম থাকে। এই কারণে, ৪s ;অরবিটালগুলো পূর্ণ হওয়ার পরই কেবল স্ক্যান্ডিয়ামের (Z=21) মাধ্যমে ৩d ;অরবিটালগুলো পূর্ণ হতে শুরু করে।

সুতরাং, পরমাণুর কোয়ান্টাম তত্ত্বের এই সরলীকৃত ও আসন্ন রূপটিও পর্যায় সারণির গুণগত এবং অনেক পরিমাণগত বৈশিষ্ট্যের সফল ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারে।