এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/সম্ভাব্যতা

সম্ভাব্যতা

মৌলিক ধারণাসমূহ

সম্ভাব্যতা হলো কোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতার একটি সংখ্যাসূচক পরিমাপ। যদি কোনো ঘটনার সম্ভাব্যতা $1$ (বা $100\mathrm{\%}$) হয়, তবে সেটি নিশ্চিতভাবেই ঘটবে। যদি কোনো ঘটনার সম্ভাব্যতা $0$ হয়, তবে সেটি নিশ্চিতভাবেই ঘটবে না। আর যদি কোনো ঘটনার সম্ভাব্যতা $1/2$ (বা $50\mathrm{\%}$) হয়, তবে ঘটনাটি ঘটার বা না ঘটার সম্ভাবনা সমান।

আমরা জানি যে, একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপ করলে 'হেড' পাওয়ার সম্ভাব্যতা $1/2$, এবং একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করলে '$1$' পাওয়ার সম্ভাব্যতা $1/6$। কিন্তু আমরা এটি কীভাবে জানি?

এখানে একটি নীতি রয়েছে যা 'উদাসীনতার নীতি' নামে পরিচিত। নীতিটি হলো: যদি $n$-সংখ্যক পারস্পরিক বর্জনশীল এবং যৌথভাবে নিঃশেষকারী সম্ভাবনা থাকে, এবং আমাদের জানা মতে যদি তাদের নাম (যেমন "হেড" বা "টেইল") ছাড়া এই $n$-সংখ্যক সম্ভাবনার মধ্যে আর কোনো পার্থক্য না থাকে, তবে প্রতিটি সম্ভাবনার জন্য $1/n$ পরিমাণ সম্ভাব্যতা বরাদ্দ করা উচিত। ('পারস্পরিক বর্জনশীল': একটি একক চেষ্টায় কেবল একটি সম্ভাবনাই সত্য হতে পারে। 'যৌথভাবে নিঃশেষকারী': একটি একক চেষ্টায় অন্তত একটি সম্ভাবনা অবশ্যই সত্য হবে। 'পারস্পরিক বর্জনশীল এবং যৌথভাবে নিঃশেষকারী': একটি একক চেষ্টায় ঠিক একটি সম্ভাবনাই সত্য হবে।)

যেহেতু এই নীতিটি আমরা যা 'জানি' তার ওপর আপিল করে, তাই এটি 'ব্যক্তিগত সম্ভাব্যতা বা 'বিশ্বাসের মাত্রা'-এর সাথে সম্পর্কিত। আপনি যদি কোনো প্রতিজ্ঞার সত্যতার বিষয়ে নিশ্চিত হন, তবে আপনি এর সম্ভাব্যতা $1$ ধরবেন। যদি আপনি নিশ্চিত হন যে একটি প্রতিজ্ঞা মিথ্যা, তবে আপনি এর সম্ভাব্যতা $0$ ধরবেন। আর যদি আপনার কাছে এমন কোনো তথ্য না থাকে যা আপনাকে বিশ্বাস করায় যে প্রতিজ্ঞাটি সত্য হওয়ার সম্ভাবনা মিথ্যা হওয়ার চেয়ে বেশি (বা কম), তবে আপনি এর সম্ভাব্যতা $1/2$ ধরবেন। এই ব্যক্তিগত বা সাবজেক্টিভ সম্ভাব্যতাকে তাই 'অজ্ঞতার সম্ভাব্যতা'-ও বলা হয়: আপনি যদি সম্ভাবনাগুলোর মধ্যকার কোনো পার্থক্য সম্পর্কে অজ্ঞাত থাকেন, তবে আপনি সেগুলোকে সমান সম্ভাব্যতা প্রদান করবেন।

আমরা যদি কোনো প্রতিজ্ঞাকে সম্ভাব্যতা $1$ প্রদান করি কারণ আমরা 'বিশ্বাস' করি যে এটি সত্য, তবে আমরা একটি ব্যক্তিগত সম্ভাব্যতা প্রদান করছি। আর আমরা যদি কোনো ঘটনাকে সম্ভাব্যতা $1$ প্রদান করি কারণ এটি নিশ্চিত যে ঘটনাটি 'ঘটবেই', তবে আমরা একটি বস্তুনিষ্ঠ সম্ভাব্যতা প্রদান করছি। কোয়ান্টাম বলবিদ্যার আবির্ভাবের পূর্ব পর্যন্ত, একমাত্র জানা বস্তুনিষ্ঠ সম্ভাব্যতা ছিল 'আপেক্ষিক গণসংখ্যা'।

সম্ভাব্যতার গণসংখ্যা-ভিত্তিক সংজ্ঞার সুবিধা হলো-এটি আমাদের সম্ভাব্যতা পরিমাপ করার সুযোগ দেয়, অন্তত আনুমানিকভাবে। তবে এর সমস্যা হলো-এটি একটি সামগ্রিক সেটের ওপর নির্ভর করে। আপনি কেবল একটি একক মুদ্রা নিক্ষেপ করে হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতা পরিমাপ করতে পারবেন না। আপনি যত বেশি সংখ্যক $(N)$ মুদ্রা নিক্ষেপ করবেন এবং প্রাপ্ত হেডের সংখ্যাকে $(N_H)$ মোট নিক্ষেপ সংখ্যা $N$ দ্বারা ভাগ করবেন, হেড পাওয়ার সম্ভাব্যতার তত নিখুঁত বা কাছাকাছি মান পেতে থাকবেন। হেড পাওয়ার সঠিক সম্ভাব্যতা হলো এর সীমা:

$p(H)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{N_H}{N}$

এই সূত্রের অর্থ হলো-যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যা $ϵ$ যত ছোটই হোক না কেন, আপনি এমন একটি (যথেষ্ট বড় কিন্তু সসীম) সংখ্যা $N$ খুঁজে পাবেন যেন:

$|p(H)-\frac{N_H}{N}|<ϵ$ হয়।

একটি পারস্পরিক বর্জনশীল এবং যৌথভাবে নিঃশেষকারী $n$-সংখ্যক সম্ভাব্য ঘটনার সেট থেকে যেকোনো $m$-সংখ্যক ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা হলো সেই $m$-সংখ্যক ঘটনার পৃথক সম্ভাব্যতার সমষ্টি। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক ছক্কা নিক্ষেপে $1$ অথবা $6$ পড়লে আপনি জয়ী হবেন। তাহলে জয়ী হওয়ার সম্ভাব্যতা হবে-

$p(1\text{ or }6)=p(1)+p(6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$

পরিসংখ্যানবিদদের ভাষায় এটি কার্যত স্বতঃসিদ্ধ। $N(1)/N$ এর মান $p(1)$ এর কাছাকাছি পৌঁছায়, $N(6)/N$ এর মান $p(6)$ এর কাছাকাছি পৌঁছায়, এবং $[N(1)+N(6)]/N$ এর মান $p(1\text{ or }6)$ এর কাছাকাছি পৌঁছায়।

দুটি 'স্বাধীন' ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা হলো ঘটনা দুটির পৃথক সম্ভাব্যতার গুণফল। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক আপনি দুটি ছক্কা নিক্ষেপ করলেন এবং মোট যোগফল $12$ হলে আপনি জয়ী হবেন। সেক্ষেত্রে-

$p(6\text{ and }6)=p(6)\times p(6)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$

উদাসীনতার নীতি অনুযায়ী, এখানে মোট $6\times 6=36$ টি সম-সম্ভাব্য সুযোগ রয়েছে, এবং দুটি ছক্কা দিয়ে মোট $12$ পাওয়া হলো তাদের মধ্যে একটি।

এটি মনে রাখা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ যে, দুটি ঘটনা $A$ ও $B$-এর 'যৌথ সম্ভাব্যতা' $p(A,B)=p(A\text{ and }B)$ তাদের পৃথক সম্ভাব্যতা $p(A)$ এবং $p(B)$-এর গুণফলের সমান 'কেবল তখনই' হবে, যদি ঘটনা দুটি স্বাধীন হয়; যার অর্থ হলো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা অন্য ঘটনাটি ঘটা বা না ঘটার ওপর নির্ভর করে না। প্রতিজ্ঞার ভাষায় বলতে গেলে: $P_1\text{ and }{P}_2$ এই সংযোগটি সত্য হওয়ার সম্ভাব্যতা হলো $P_1$ সত্য হওয়ার সম্ভাব্যতা এবং $P_2$ সত্য হওয়ার সম্ভাব্যতার গুণফল 'কেবল তখনই', যখন যেকোনো একটি প্রতিজ্ঞা সত্য হওয়ার সম্ভাব্যতা অন্য প্রতিজ্ঞাটি সত্য বা মিথ্যা হওয়ার ওপর নির্ভর করে না। এই বিষয়টি উপেক্ষা করার ফলে অতীতে সবচেয়ে মর্মান্তিক পরিণতি ঘটতে দেখা গেছে। দুটি ঘটনার যৌথ সম্ভাব্যতার সাধারণ নিয়মটি হলো-

$p(A,B)=p(B|A)p(A)=p(A|B)p(B)$

এখানে $p(B|A)$ হলো একটি 'শর্তাধীন সম্ভাব্যতা': যার অর্থ হলো $A$ ঘটার সাপেক্ষে বা 'শর্তে' $B$ ঘটার সম্ভাব্যতা।

এটি বোঝার জন্য, ধরা যাক $N(A,B)$ হলো মোট চেষ্টার সংখ্যা যেখানে $A$ এবং $B$ উভয় ঘটনাই ঘটে বা সত্য হয়। তাহলে $N(A,B)/N$ অনুপাতটি $p(A,B)$-এর কাছাকাছি পৌঁছায়, $N(A,B)/N(A)$ অনুপাতটি $p(B|A)$-এর কাছাকাছি পৌঁছায় এবং $N(A)/N$ অনুপাতটি $p(A)$-এর কাছাকাছি পৌঁছায়। কিন্তু-

$p(A,B)\stackrel{N\to \mathrm{\infty }}{⟵}\frac{N(A,B)}{N}=\frac{N(A,B)}{N(A)}\times \frac{N(A)}{N}\stackrel{N\to \mathrm{\infty }}{⟶}p(B|A)p(A)$

এর একটি তাত্ক্ষণিক বা সরাসরি ফলাফল হলো 'বায়েসের উপপাদ্য':

$p(B|A)=\frac{p(A|B)}{p(A)}p(B)$

একইভাবে নিচের সমীকরণটিও খুব সহজে প্রতিষ্ঠা করা যায়:

$p(X)=p(X|Y)p(Y)+p(X|\bar{Y})p(\bar{Y}),$

যেখানে যখনই $Y$ ঘটে না বা মিথ্যা হয়, তখনই $\bar{Y}$ ঘটে বা সত্য হয়। পারস্পরিক বর্জনশীল এবং যৌথভাবে নিঃশেষকারী $n>2$ সংখ্যক সম্ভাবনার ক্ষেত্রে এর সাধারণীকরণ একেবারেই স্পষ্ট।

---

ধরা যাক একটি 'দৈব চলক' দেওয়া আছে, যা হলো কতগুলো দৈব সংখ্যার একটি সেট $X=\{x_1,\dots ,x_n\}$। এখন আমরা এর গাণিতিক গড় জানতে চাইতে পারি-

$⟨X⟩=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{x}_k=\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}$

এবং এর পাশাপাশি এর 'পরিমিত ব্যবধান'-ও নির্ণয় করতে চাইতে পারি, যা হলো গাণিতিক গড় থেকে বিচ্যুতির বর্গের গড়-মূল -

$\sigma (X)=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(x_k-⟨X⟩{)}^2}$

পরিমিত ব্যবধান হলো 'পরিসংখ্যানিক বিস্তার'-এর একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিমাপ।

ধরা যাক $n$-সংখ্যক সম্ভাব্য পরিমাপের ফলাফল $v_1,\dots v_n$ দেওয়া আছে যাদের সম্ভাব্যতা যথাক্রমে $p_k=p(v_k)$। এর ফলে আমরা একটি 'সম্ভাব্যতা বিন্যাস' $\{p_1,\dots ,p_n\}$ পাই। এখন আমরা $X$-এর 'প্রত্যাশিত মান' জানতে চাইতে পারি, যা নিচের সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত-

$⟨X⟩=\sum _{k=1}^n{p}_k{x}_k$

এবং এর সাথে সম্পর্কিত পরিমিত ব্যবধানও জানতে চাইতে পারি-

$\sigma (X)=\sqrt{\sum _{k=1}^n{p}_k(x_k-⟨X⟩{)}^2},$

যা $X$-এর অস্পষ্টতা বা অনিশ্চয়তার একটি সহজ পরিমাপ হিসেবে কাজ করে।

আমরা সম্ভাব্যতাকে সম্ভাবনার একটি সংখ্যাসূচক পরিমাপ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছি। তাহলে এই 'সম্ভাবনা' আসলে কী? একটি সংখ্যাসূচক পরিমাপ হওয়া ছাড়া সম্ভাব্যতার নিজস্ব স্বরূপ কী? গণসংখ্যা-ভিত্তিক সংজ্ঞা কিছু ক্ষেত্রকে ব্যাখ্যা করে, জ্ঞানমূলক সংজ্ঞা অন্য কিছু ক্ষেত্রকে ব্যাখ্যা করে; কিন্তু কোন সংজ্ঞাটি সব ক্ষেত্রকে একসাথে ব্যাখ্যা করতে পারবে? মনে হয় সম্ভাব্যতা এমন একটি ধারণা যা আমাদের কাছে সহজাত বা স্বজ্ঞাতভাবে অর্থপূর্ণ, কিন্তু-ঠিক সময় কিংবা বেগুনি রঙের অনুভূতির মতোই-অন্য কোনো ধারণার সাহায্যে একে পুরোপুরি ব্যাখ্যা করা যায় না।