এই কোয়ান্টাম জগৎ/পরিশিষ্ট/সম্ভাব্যতা/অনুশীলনী

কিছু গাণিতিক সমস্যা

সমস্যা 1। একটি গেম শোতে একজন খেলোয়াড়কে তিনটি দরজার মধ্য থেকে যেকোনো একটি বেছে নেওয়ার সুযোগ দেওয়া হলো। একটি দরজার পেছনে রয়েছে আসল পুরস্কার (ধরা যাক, একটি গাড়ি); আর বাকি দুটি দরজার পেছনে রয়েছে সান্ত্বনা পুরস্কার বা ফাঁদ (ধরা যাক, ছাগল)। খেলোয়াড় একটি দরজা বেছে নেওয়ার পর, অনুষ্ঠানের উপস্থাপক (যিনি জানেন কোন দরজার পেছনে কী আছে) অবশিষ্ট দরজাগুলোর মধ্য থেকে একটি দরজা খুলে দিলেন। দেখা গেল সেই দরজার পেছনে একটি ছাগল রয়েছে। এরপর উপস্থাপক খেলোয়াড়কে একটি প্রস্তাব দিলেন: খেলোয়াড় চাইলে তার শুরুতে বেছে নেওয়া দরজাতেই অনড় থাকতে পারেন, অথবা বন্ধ থাকা অন্য দরজাটিতে পরিবর্তন করতে পারেন। কোন সিদ্ধান্তটি খেলোয়াড়ের জেতার সম্ভাবনা বাড়িয়ে দেবে: দরজা পরিবর্তন করা নাকি নিজের প্রথম সিদ্ধান্তে অনড় থাকা? অথবা উভয় ক্ষেত্রেই জেতার সম্ভাবনা সমান?

সমস্যা ২। কল্পনা কর একটি মুদ্রা ক্রমাগত নিক্ষেপ করছো এবং $H^{\prime }T{T}^{\prime }(Head-Tail-Tail)$ প্যাটার্নটি প্রথমবার আসার জন্য অপেক্ষা করছো। উদাহরণস্বরূপ, যদি মুদ্রা নিক্ষেপের ক্রমটি এমন হয়-

$HHTHHTHHTTHHTTTHTH$

তবে $10$ম নিক্ষেপের পর প্রথম $H^{\prime }T{T}^{\prime }$ প্যাটার্নটি দেখা যাবে। ধরা যাক, $HTT$ আসার গড় নিক্ষেপ সংখ্যা $A\text{(HTT)}$, এবং $H^{\prime }T{H}^{\prime }$ প্যাটার্নটি আসার গড় নিক্ষেপ সংখ্যা $A\text{(HTH)}$। তাহলে নিচের কোন উক্তিটি সত্য?

(ক) $A\text{(HTH)}<A\text{(HTT)}$, (খ) $A\text{(HTH)}=A\text{(HTT)}$, অথবা (গ) $A\text{(HTH)}>A\text{(HTT)}$।

সমস্যা ৩। মনে কর কোনো একটি নির্দিষ্ট রোগের (যেমন-এইচআইভি) পরীক্ষার পদ্ধতিটি $99\mathrm{\%}$ নিখুঁত বা সঠিক। এখন এলোমেলোভাবে নির্বাচিত কোনো ব্যক্তির এই পরীক্ষার ফলাফল 'পজিটিভ' এলো। ওই ব্যক্তির আসলেই সেই রোগটি থাকার সম্ভাবনা কত?

সমাধান

সমস্যা 1-এর সমাধান। ধরা যাক, গাড়িটি 1 নম্বর দরজার পেছনে থাকার সম্ভাব্যতা $p(C1)$, উপস্থাপক কর্তৃক ৩ নম্বর দরজাটি খোলার সম্ভাব্যতা $p(O3)$, এবং গাড়িটি 1 নম্বর দরজার পেছনে থাকা সাপেক্ষে উপস্থাপকের ৩ নম্বর দরজাটি খোলার শর্তাধীন সম্ভাব্যতা $p(O3|C1)$। আমরা লিখতে পারি-

$p(O3)=p(O3|C1)p(C1)+p(O3|C2)p(C2)+p(O3|C3)p(C3)$

এবং এর পাশাপাশি-

$p(O3|C2)p(C2)=p(C2|O3)p(O3)$

যদি খেলোয়াড়ের প্রথম পছন্দ $1$ নম্বর দরজা হয়, তবে $p(O3|C1)=1/2,$ $p(O3|C2)=1,$ এবং $p(O3|C3)=0$ হবে। অতএব-

$p(O3)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{3}+0\times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}$

এবং ফলস্বরূপ-

$p(C2|O3)=\frac{p(O3|C2)p(C2)}{p(O3)}=\frac{1\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$

সহজ কথায়: খেলোয়াড়ের প্রথম পছন্দ যদি $1$ নম্বর দরজা হয় এবং উপস্থাপক যদি $3$ নম্বর দরজাটি খুলে দেন, তবে গাড়িটি $2$ নম্বর দরজার পেছনে থাকার সম্ভাব্যতা হলো $2/3,$ যেখানে এটি $1$ নম্বর দরজার পেছনে থাকার সম্ভাব্যতা মাত্র $1-2/3=1/3$ দরজা পরিবর্তন করলে জেতার সম্ভাবনা যে ঠিক দ্বিগুণ হয়ে যায়, তা আরও দ্রুত বোঝার একটি উপায় হলো এই খেলাটিকে অন্য একটি খেলার সাথে তুলনা করা; যেখানে উপস্থাপক খেলোয়াড়কে নিজের প্রথমে বেছে নেওয়া দরজাটি খোলার অথবা বাকি উভয় দরজা একসাথে খোলার (এবং দুটির যেকোনো একটিতে গাড়ি থাকলেই জিতে যাওয়ার) প্রস্তাব দেয়।

দ্রষ্টব্য: এই ফলাফলটি কেবল তখনই খাটবে যদি উপস্থাপক *ইচ্ছাকৃতভাবে* কেবল ছাগল থাকা দরজাই খোলে। উপস্থাপক নিজে যদি না জানে-কিংবা পরোয়া না করে যে কোন দরজার পেছনে গাড়িটি আছে, এবং অবশিষ্ট দরজাগুলোর মধ্য থেকে এলোমেলোভাবে যেকোনো একটি দরজা খুলে দেয় (যার পেছনে ছাগল বের হলো), তবে শুরুতে সম্ভব ছিল এমন ফলাফলের $1/3$ অংশ উপস্থাপক কর্তৃক ছাগলের দরজা খোলার কারণে বাদ পড়ে যাবে। এই ক্ষেত্রে খেলোয়াড় দরজা পরিবর্তন করে কোনো অতিরিক্ত সুবিধা (বা অসুবিধা) পাবে না। সুতরাং উত্তরটি কেবল ঘটনার ক্রমের ওপর নয়, খেলার নিয়মের ওপরও নির্ভর করে। অবশ্য খেলোয়াড় যদি এই বিষয়ে খেলার আসল 'নিয়ম' না-ও জানে, তবুও তার দরজা পরিবর্তন করাই বুদ্ধিমানের কাজ হবে, কারণ এতে কোনো ক্ষতি বা অসুবিধা হওয়ার সুযোগ নেই।

সমস্যা ২-এর সমাধান। $HTT$ প্যাটার্নটি আসার গড় নিক্ষেপ সংখ্যা $A\text{(HTT)}=8$, যেখানে $A\text{(HTH)}=10$। কেন শেষেরটির মান বেশি, তা বোঝার জন্য কল্পনা কর মুদ্রা নিক্ষেপ করে মাত্র $H^{\prime }{T}^{\prime }$ পেয়েছো। যদি $H^{\prime }T{H}^{\prime }$ খুঁজো এবং পরবর্তী নিক্ষেপটি $T^{\prime }$ আসে (অর্থাৎ সামগ্রিকভাবে $H^{\prime }T{T}^{\prime }$ হয়ে যায়), তবে পুনরায় $H^{\prime }T{H}^{\prime }$ পাওয়ার জন্য সর্বনিম্ন আরও ৩টি চাল বা মোট ৬টি নিক্ষেপ পর্যন্ত অপেক্ষা করতে হবে। অন্যদিকে, যদি $H^{\prime }T{T}^{\prime }$ খুঁজো এবং পরবর্তী নিক্ষেপটি $H^{\prime }$ আসে (অর্থাৎ সামগ্রিকভাবে $H^{\prime }T{H}^{\prime }$ হয়ে যায়), তবে পুনরায় $H^{\prime }T{T}^{\prime }$ পাওয়ার সুযোগ পেতে মাত্র আরও ২টি চাল বা মোট ৫টি নিক্ষেপ পর্যন্ত অপেক্ষা করতে হবে। (সংক্ষেপে: $HTH$ এর ক্ষেত্রে প্যাটার্নটি ওভারল্যাপ বা পুনরাবৃত্তি করতে পারে, যা গড় দূরত্ব বাড়িয়ে দেয়; তাই সঠিক উত্তর হলো **(গ)**)।

সমস্যা ৩-এর সমাধান। এই প্রশ্নের উত্তরটি নির্ভর করে রোগটি সমাজে কতটা বিরল বা সাধারণ তার ওপর। ধরা যাক, প্রতি $10,000$ মানুষের মধ্যে $1$ জন এই রোগে আক্রান্ত। এর অর্থ হলো প্রতি $10Lakh$ $(1Million)$ মানুষের মধ্যে $100$ জন আক্রান্ত। যদি $10Lakh$ মানুষের পরীক্ষা করা হয়, তবে আক্রান্ত $100$ জনের মধ্যে $99$ জনের ফলাফল সঠিকভাবে ইতিবাচক আসবে এবং $1$ জনের ফলাফল ভুলবশত নেতিবাচক আসবে। বাকি থাকা $9,99,900$ জন সুস্থ মানুষের $99\mathrm{\%}$-অর্থাৎ $9,89,901$ জনের ফলাফল সঠিকভাবে নেতিবাচক আসবে এবং $1\mathrm{\%}$-অর্থাৎ $9,999$ জনের ফলাফল ভুলবশত ইতিবাচক আসবে। এখন, এলোমেলোভাবে নির্বাচিত কোনো ব্যক্তির পরীক্ষার ফলাফল ইতিবাচক আসার পর তার আসলেই রোগটি থাকার সম্ভাব্যতা হলো-আসল ইতিবাচক সংখ্যাকে মোট ইতিবাচক ফলাফলের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা। এই নির্দিষ্ট উদাহরণের ক্ষেত্রে তা হবে: $99/(9999+99)=0.0098$-যা **$1\mathrm{\%}$-এরও কম**!

নীতিবাণী

বিজ্ঞানের উপাত্ত হোক কিংবা আদালতের কোনো প্রমাণ-যেকোনো বিষয়ের পেছনে সাধারণত একাধিক প্রতিদ্বন্দ্বী বা বিকল্প ব্যাখ্যা থাকে, এবং প্রতিটি ব্যাখ্যারই কিছু অংশ সম্ভাব্য ও কিছু অংশ অসম্ভব বলে মনে হতে পারে। যেমন-উক্ত রোগে আক্রান্ত হওয়ার সম্ভাবনা খুবই কম (অসম্ভব অংশ), কিন্তু রোগ নির্ণয় পরীক্ষাটি সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা অনেক বেশি (সম্ভাব্য অংশ); আবার রোগটি না থাকার সম্ভাবনা অনেক বেশি (সম্ভাব্য অংশ), কিন্তু পরীক্ষার ফলাফল ভুল আসার সম্ভাবনা অত্যন্ত কম (অসম্ভব অংশ)। এ থেকে বুঝতে পারি যে, প্রতিদ্বন্দ্বী ব্যাখ্যাগুলোর সম্ভাব্যতা নিখুঁতভাবে মূল্যায়ন করা কতটা গুরুত্বপূর্ণ; এবং যদি এই গাণিতিক সমস্যাগুলো নিজে সমাধান করার চেষ্টা করি, তবে নিশ্চয়ই বুঝতে পেরেছো যে আমরা মানুষরা সহজাতভাবে এই ধরণের জটিল মূল্যায়ন বা অনুমানে খুব একটা পারদর্শী নই।