কোয়ান্টাম জগৎ/প্রভাব ও প্রয়োগ/অস্পষ্ট অবস্থান কীভাবে আরও অস্পষ্ট হয়

অস্পষ্ট অবস্থান কীভাবে আরও অস্পষ্ট হয়

আমরা এখন হিসেব করব যে, অবস্থান সম্ভাব্যতা বণ্টনের অস্পষ্টতা কোন হারে বৃদ্ধি পায়। এটি ঘটে সংশ্লিষ্ট ভরবেগের অস্পষ্টতার কারণে, যখন এর বিপরীতে কোনো আকর্ষণ বল (যেমন পারমাণবিক হাইড্রোজেনে নিউক্লিয়াস ও ইলেকট্রনের মধ্যে আকর্ষণ) কাজ করে না।

সহজভাবে বিশ্লেষণের জন্য আমরা একটি গাউসের ফাংশন বেছে নেব

$\psi (0,x)=N{e}^{-x^2/2{\sigma }^2},$

যা একটি ঘণ্টাকৃতির লেখচিত্র তৈরি করে। এটি একটি অবস্থান সম্ভাব্যতা বণ্টন সংজ্ঞায়িত করে

$|\psi (0,x){|}^2=N^2{e}^{-x^2/{\sigma }^2}.$

যদি আমরা এই বিন্যাসকে এমনভাবে স্বাভাবিকীকরণ করি যাতে $\int dx|\psi (0,x){|}^2=1,$ হয়, তাহলে $N^2=1/\sigma \sqrt{\pi },$ হবে, এবং

$|\psi (0,x){|}^2=e^{-x^2/{\sigma }^2}/\sigma \sqrt{\pi }.$

আমরা আরও জানি যে

• $\mathrm{\Delta }x(0)=\sigma /\sqrt{2},$
• $\psi (0,x)$ এর ফুরিয়ার রূপান্তর হলো $\bar{\psi }(0,k)=\sqrt{\sigma /\sqrt{\pi }}{e}^{-{\sigma }^2{k}^2/2},$
• এটি ভরবেগ সম্ভাব্যতা বণ্টন সংজ্ঞায়িত করে $|\bar{\psi }(0,k){|}^2=\sigma e^{-{\sigma }^2{k}^2}/\sqrt{\pi },$
• এবং $\mathrm{\Delta }k(0)=1/\sigma \sqrt{2}.$

$\psi (0,x)$ এর সাথে সম্পর্কিত একটি কণার অবস্থান এবং ভরবেগের অস্পষ্টতা তাই "অনিশ্চয়তা" নীতি দ্বারা অনুমোদিত সর্বনিম্ন সীমার মধ্যে থাকে: $\mathrm{\Delta }x(0)\mathrm{\Delta }k(0)=1/2.$

এখন মনে করুন যে

$\bar{\psi }(t,k)=\varphi (0,k)e^{-i\omega t},$

যেখানে $\omega =\hslash k^2/2m.$ এর ফুরিয়ার রূপান্তর হলো

$\psi (t,x)=\sqrt{\frac{\sigma }{\sqrt{\pi }}}\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+i(\hslash /m)t}}{e}^{-x^2/2[{\sigma }^2+i(\hslash /m)t]},$

এবং এটি অবস্থান সম্ভাব্যতা বণ্টন সংজ্ঞায়িত করে

$|\psi (t,x){|}^2=\frac{1}{\sqrt{\pi }\sqrt{{\sigma }^2+({\hslash }^2/m^2{\sigma }^2)t^2}}{e}^{-x^2/[{\sigma }^2+({\hslash }^2/m^2{\sigma }^2)t^2]}.$

$|\psi (0,x){|}^2$ এর সাথে তুলনা করে দেখা যায় যে, $\sigma (t)=\sqrt{{\sigma }^2+({\hslash }^2/m^2{\sigma }^2)t^2}$। সুতরাং,

$\mathrm{\Delta }x(t)=\frac{\sigma (t)}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{2}+\frac{{\hslash }^2{t}^2}{2m^2{\sigma }^2}}=\sqrt{[\mathrm{\Delta }x(0){]}^2+\frac{{\hslash }^2{t}^2}{4m^2[\mathrm{\Delta }x(0){]}^2}}.$

নিচের গ্রাফগুলো দেখাচ্ছে যে, একটি ইলেকট্রনের ভরের সমান কণার অস্পষ্টতা কতটা দ্রুত বৃদ্ধি পায়, যখন এটিকে একটি $C_{60}$ অণু বা একটি চিনাবাদামের ভরের বস্তুর সাথে তুলনা করা হয়। এখানে আমরা একটি কারণ দেখতে পাচ্ছি, যদিও এটি একমাত্র কারণ নয়, কেন কার্যত ম্যাক্রোস্কোপিক বস্তুগুলোর অবস্থানের ক্ষেত্রে "একবার তীক্ষ্ণ হলে সবসময় তীক্ষ্ণ" কথাটি সত্য হয়।

উপরে: একটি ইলেকট্রন যার $\mathrm{\Delta }x(0)=1$ ন্যানোমিটার। এক সেকেন্ডের মধ্যে $\mathrm{\Delta }x(t)$ বেড়ে প্রায় ৬০ কিলোমিটার হয়ে যায়।

নীচে: একটি ইলেকট্রন যার $\mathrm{\Delta }x(0)=1$ সেন্টিমিটার। এক সেকেন্ডে $\mathrm{\Delta }x(t)$ মাত্র ১৬% বৃদ্ধি পায়।

এরপর, একটি $C_{60}$ অণু যার $\mathrm{\Delta }x(0)=1$ ন্যানোমিটার। এক সেকেন্ডে $\mathrm{\Delta }x(t)$ বেড়ে ৪.৪ সেন্টিমিটার হয়ে যায়।

সবশেষে, একটি চিনাবাদাম (২.৮ গ্রাম) যার $\mathrm{\Delta }x(0)=1$ ন্যানোমিটার। $\mathrm{\Delta }x(t)$ ৭.৫ মাইক্রোমিটার হতে মহাবিশ্বের বর্তমান বয়সের সমান সময় লাগে।