কোয়ান্টাম জগৎ/প্রভাব ও প্রয়োগ/সময়স্বাধীন শ্রোডিনগার সমীকরণ

সময়স্বাধীন শ্রোডিনগার সমীকরণ

যদি বিভব V সময়ের উপর নির্ভরশীল না হয়, তাহলে শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের এমন সমাধান পাওয়া যায় যা একটি সময়-নিরপেক্ষ ফাংশন $\psi (𝐫)$ এবং একটি সময়-নির্ভর দশা গুণক $e^{-(i/\hslash )Et}$ এর গুণফল:

$\psi (t,𝐫)=\psi (𝐫)e^{-(i/\hslash )Et}.$

যেহেতু সম্ভাব্যতা ঘনত্ব $|\psi (t,𝐫){|}^2$ সময়স্বাধীন তাই এই সমাধানগুলিকে স্থির বলা হয়।

$\psi (𝐫)e^{-(i/\hslash )Et}$ কে প্রতিস্থাপন করা হলে

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{\partial }{\partial 𝐫}\cdot \frac{\partial }{\partial 𝐫}\psi +V\psi$

যাতে $\psi (𝐫)$ সময়স্বাধীন শ্রোডিনগার সমীকরণ মেনে চলে তা প্রমাণ করা যায়

$E\psi (𝐫)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})\psi (𝐫)+V(𝐫)\psi (𝐫).$