পরমাণু চিকিৎসায় মৌলিক পদার্থবিজ্ঞান/তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্র

প্রতিটি জানা নিউক্লিয়াসের স্থিতিশীলতার গ্রাফ, যা Z (প্রোটন সংখ্যা) বনাম N (নিউট্রন সংখ্যা) হিসেবে অঙ্কিত। রঙটি অর্ধায়ু T½-এর মানকে একটি শক্তিশালী লগ স্কেলে নির্দেশ করে, কারণ এর মান ১০^−২০ থেকে ১০^২০ সেকেন্ডের মধ্যে পরিবর্তিত হয়।

আমরা গত অধ্যায়ে তেজস্ক্রিয় ক্ষয়কে একটি ঘটনাতাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে আলোচনা করেছি। এই অধ্যায়ে, আমরা বিষয়টিকে আরও সাধারণ বিশ্লেষণাত্মক দৃষ্টিকোণ থেকে বিবেচনা করব।

এটি করার কারণ হলো, আমরা এমন এক ধরনের চিন্তাধারা গড়ে তুলতে চাই যা আমাদের পরিমাণগত ও গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে কোনো ঘটনা বুঝতে সাহায্য করবে। ক্ষয় ধ্রুবক এবং অর্ধায়ুর মতো ধারণার পাশাপাশি তেজস্ক্রিয়তা পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত এককগুলোর সাথেও আমাদের পরিচয় করিয়ে দেওয়া হবে। এই বিষয়ে তিনটি প্রশ্নের সমাধানের মাধ্যমে আপনারা নিজেদের বোধগম্যতাকে আরও উন্নত করার সুযোগও পাবেন।

পূর্বানুমান

পদার্থবিজ্ঞানের বেশিরভাগ বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে সাধারণ সূচনা বিন্দু হলো কিছু পূর্বানুমান করা, যা পরিস্থিতিকে সরল করে তোলে। পরিস্থিতিকে সরল করার মাধ্যমে আমরা সেইসব অপ্রাসঙ্গিক প্রভাব বাদ দিতে পারি যা বিষয়টিকে জটিল ক'রে তোলে, কিন্তু তা করতে গিয়ে আমরা কখনও কখনও পরিস্থিতিকে এতটাই সরল করে ফেলি যে তা কিছুটা বেশি বিমূর্ত এবং বোঝা কঠিন হয়ে পড়ে।

এই কারণে, আমরা এখানে তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ের বিষয়টিকে একটি সাধারণ পরিস্থিতির সাথে সম্পর্কিত করার চেষ্টা করব, যা আমরা একটি উপমা হিসেবে ব্যবহার করব এবং আশা করি এর মাধ্যমে আমরা বিষয়টির বিমূর্ত বৈশিষ্ট্যকে অতিক্রম করতে সক্ষম হব। আমরা এখানে যে উপমাটি ব্যবহার করব তা হলো পপকর্ন তৈরি করা।

সুতরাং, একটি পাত্রে কিছুটা তেল দিয়ে, তাতে ভুট্টার দানা যোগ ক'রে, উনুনে পাত্রটি গরম করতে দিয়ে কি ঘটছে তা লক্ষ্য করার কথা ভাবুন। আপনি যখন এই পরিস্থিতিটি নিয়ে চিন্তা করছেন, তখন চাইলে নিজেও এটি বাস্তবে পরীক্ষা ক'রে দেখতে পারেন!

আমাদের তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ের পরিস্থিতির জন্য, আমরা প্রথমে ধরে নিই যে আমাদের কাছে একই ধরনের প্রচুর তেজস্ক্রিয় নিউক্লিয়াসযুক্ত একটি নমুনা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, এটি হলো আমাদের পাত্রে থাকা না ফোটা ভুট্টার দানা।

দ্বিতীয়ত, আমরা ধরে নিই যে সমস্ত তেজস্ক্রিয় নিউক্লিয়াস একই প্রক্রিয়ায় ক্ষয়প্রাপ্ত হয়, তা আলফা, বিটা বা গামা-ক্ষয় যাই হোক না কেন। অন্য কথায়, গরম করার প্রক্রিয়ার কোনো এক পর্যায়ে আমাদের না ফোটা ভুট্টা ফুটে ওঠে।

তৃতীয়ত, এই বিষয়টি নিয়ে কিছুক্ষণ ভাবুন যে, যা ঘটছে তা আমরা কেবল পরিসংখ্যানগত দৃষ্টিকোণ থেকেই বিবেচনা করতে পারি। আপনি যদি একটি ভুট্টার দানার দিকে তাকান, আপনি কি বলতে পারবেন যে এটি কখন ফুটবে? আসলে না। তবে আপনি এটা বুঝতে পারবেন যে, একটি নির্দিষ্ট সময় পর বিপুল সংখ্যক ভুট্টা ফুটে যাবে। কিন্তু একটি মাত্র ভুট্টার দানার ক্ষেত্রে পরিস্থিতিটা বোঝা বেশ কঠিন। তাই স্বতন্ত্র সত্তা নিয়ে কাজ করার পরিবর্তে, আমরা বৃহত্তর পরিসরে কি ঘটছে তা বিবেচনা করি এবং এখানেই পরিসংখ্যানের ভূমিকা আসে। আমরা বলতে পারি যে তেজস্ক্রিয় ক্ষয় একটি পরিসংখ্যানগত এককালীন প্রক্রিয়া, অর্থাৎ যখন একটি নিউক্লিয়াস ক্ষয়প্রাপ্ত হয়, তখন এটি আর সেই প্রক্রিয়ার পুনরাবৃত্তি করতে পারে না। অন্য কথায়, যখন একটি ভুট্টার দানা ফুটে যায়, তখন এটি আর সেই প্রক্রিয়ার পুনরাবৃত্তি করতে পারে না। ব্যাপারটা এতটাই সহজ!

এছাড়াও, যতক্ষণ একটি তেজস্ক্রিয় নিউক্লিয়াস ক্ষয়প্রাপ্ত না হয়, ততক্ষণ পরবর্তী মুহূর্তে এর ক্ষয়প্রাপ্ত হওয়ার সম্ভাবনা একই থাকে। অন্য কথায়, যদি একটি ভুট্টার দানা কোনো নির্দিষ্ট সময়ে না ফোটে, তবে পরবর্তী সেকেন্ডে এর ফোটার সম্ভাবনা আগের সেকেন্ডের মতোই থাকে। বাজি সমান সমান!

তবে এই পপকর্নের উপমাটিকে খুব বেশি দূর না টানাই ভালো, কারণ আমরা জানি যে, উদাহরণস্বরূপ, পাত্রে তাপ প্রয়োগ ক'রে আমরা পপকর্ন ফোটার হার নিয়ন্ত্রণ করতে পারি। কিন্তু আমাদের তেজস্ক্রিয় নিউক্লিয়াসের ক্ষেত্রে, যা ঘটছে তা নিয়ন্ত্রণ করার জন্য আমরা কিছুই করতে পারি না। যে হারে নিউক্লিয়াসগুলো ফেটে যায় (বা অন্য কথায়, ক্ষয় হয়), সেই হারকে নমুনাটিকে উত্তপ্ত করে প্রভাবিত করা যায় না। একইভাবে, এটিকে ঠান্ডা করেও না, বা এর ওপর অধিক চাপ প্রয়োগ করেও না, উদাহরণস্বরূপ এটিকে মহাকাশে নিয়ে গিয়ে মহাকর্ষীয় পরিবেশ পরিবর্তন করেও না, অথবা এর ভৌত পরিবেশের অন্য কোনো দিক পরিবর্তন করেও না। একটি স্বতন্ত্র নিউক্লিয়াস ক্ষয় হবে কি না, তা একমাত্র নিউক্লিয়াসটি নিজেই নির্ধারণ করে বলে মনে হয়। কিন্তু গড় হিসাবে আমরা বলতে পারি যে এটি কোনো না কোনো পর্যায়ে ক্ষয় হবেই।

তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্র

এখন যা ঘটছে তা বর্ণনা করার জন্য আমাদের লেখার পরিমাণ কমাতে এবং পরিস্থিতিকে এখন পর্যন্ত যতটা সহজ করতে পেরেছি তার চেয়েও আরও সরল করার জন্য কিছু গাণিতিক কৌশল ব্যবহার করতে চলুন কিছু প্রতীক ব্যবহার করা যাক।

ধরা যাক, তেজস্ক্রিয় পদার্থের নমুনায় N সংখ্যক নিউক্লিয়াস আছে যা একটি নির্দিষ্ট সময়, t পর্যন্ত ক্ষয়প্রাপ্ত হয়নি। তাহলে পরবর্তী সংক্ষিপ্ত সময়কালে কি ঘটবে? কিছু নিউক্লিয়াস অবশ্যই ক্ষয়প্রাপ্ত হবে। কিন্তু কতগুলো?

আমাদের ওপরের যুক্তির ভিত্তিতে আমরা বলতে পারি যে, যত নিউক্লিয়াস ক্ষয়প্রাপ্ত হবে তার সংখ্যা নিউক্লিয়াসের মোট সংখ্যা, N, এবং সংক্ষিপ্ত সময়কালের দৈর্ঘ্যের ওপর নির্ভর করবে। অন্য কথায়, নিউক্লিয়াসের সংখ্যা যত বেশি হবে, তত বেশি নিউক্লিয়াস ক্ষয়প্রাপ্ত হবে এবং সময়কাল যত দীর্ঘ হবে, তত বেশি নিউক্লিয়াস ক্ষয়প্রাপ্ত হবে। ধরা যাক, যে সংখ্যক নিউক্লিয়াস ক্ষয়প্রাপ্ত হবে তাকে dN এবং এই ক্ষুদ্র সময়কালকে dt দ্বারা প্রকাশ করা হলো।

সুতরাং আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হয়েছি যে, t থেকে t+dt সময়কালের মধ্যে যে সংখ্যক তেজস্ক্রিয় নিউক্লিয়াস ক্ষয়প্রাপ্ত হবে, তা অবশ্যই N এবং dt-এর সমানুপাতিক হবে। অতএব, প্রতীকীভাবে:

$-dN\propto N\cdot dt$

বিয়োগ চিহ্নটি নির্দেশ করে যে N হ্রাস পাচ্ছে।

এই সমীকরণের সমানুপাতিকতাকে সমতায় পরিণত করে আমরা লিখতে পারি:

$-dN=\lambda N\cdot dt$

যেখানে সমানুপাতিক ধ্রুবক, λ-কে (লাম্বডা নামে পরিচিত) ক্ষয় ধ্রুবক বলা হয়।

উভয়পক্ষকে N দ্বারা ভাগ করে আমরা এই সমীকরণটিকে নিম্নরূপে পুনরায় লিখতে পারি:

$-\frac{dN}{N}=\lambda \cdot dt$

সুতরাং এই সমীকরণটি যে কোনো সংক্ষিপ্ত সময় ব্যবধান, dt-এর জন্য পরিস্থিতি বর্ণনা করে। সমস্ত সময়কালের জন্য কি ঘটে তা জানতে, আমরা কেবল প্রতিটি সংক্ষিপ্ত সময় ব্যবধানে যা ঘটে তা যোগ করি। অন্য কথায়, আমরা ওপরের সমীকরণটিকে ইন্টিগ্রেট করি। এটিকে আরও আনুষ্ঠানিকভাবে প্রকাশ করলে আমরা বলতে পারি যে t = 0 থেকে শুরু ক'রে পরবর্তী যে কোনো সময় t পর্যন্ত, তেজস্ক্রিয় নিউক্লিয়াসের সংখ্যা N₀ থেকে N_t-তে হ্রাস পাবে, যাতে:

$-{\int }_{N_0}^{N_t}\frac{dN}{N}=\lambda {\int }_0^{t}dt$

$\therefore \ln \left(\frac{N_t}{N_0}\right)=-\lambda t$

$\therefore \frac{N_t}{N_0}=\text{exp}(-\lambda t)$

$\therefore N_t=N_0\text{exp}(-\lambda t)$

এই চূড়ান্ত রাশিটি তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্র নামে পরিচিত। এটি আমাদের বলে যে, সময়ের সাথে সাথে তেজস্ক্রিয় নিউক্লিয়াসের সংখ্যা সূচকীয় হারে হ্রাস পাবে এবং এই হ্রাসের হার ক্ষয় ধ্রুবক দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়।

এই রাশিটি আরও বিস্তারিতভাবে দেখার আগে, আসুন আমরা ওপরে ব্যবহৃত গণিতটি পর্যালোচনা করি। প্রথমত, আমরা একটি সংক্ষিপ্ত সময়ের ব্যবধানে যা ঘটবে বলে জানতাম, তাকে ইন্টিগ্রেট ক'রে একটি নির্দিষ্ট সময় ধরে কি ঘটছে তা বের করার জন্য ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস ব্যবহার করেছি। দ্বিতীয়ত, আমরা ক্যালকুলাসের একটি সম্পর্ক ব্যবহার করেছি যা

$\int \frac{dx}{x}=\ln x$

যেখানে ln x হলো x-এর স্বাভাবিক লগারিদম। এবং তৃতীয়ত, আমরা লগারিদমের সেই সংজ্ঞাটি ব্যবহার করেছি যে যখন

$\ln x=y$

তাহলে,

$x=\text{exp}y$

এবার, তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্রে ফিরে আসা যাক। এই সূত্রটি আমাদের বলে যে, তেজস্ক্রিয় নিউক্লিয়াসের সংখ্যা সময়ের সাথে সাথে সূচকীয় হারে হ্রাস পাবে এবং এই হ্রাসের হার ক্ষয় ধ্রুবক দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়। সূত্রটি নিচের ছবিতে লেখচিত্রের আকারে দেখানো হয়েছে:

লেখচিত্রটিতে যে কোনো সময়ে তেজস্ক্রিয় নিউক্লিয়াসের সংখ্যা, N_t, এবং সময়, t-এর মধ্যে সম্পর্ক দেখানো হয়েছে। আমরা দেখতে পাই যে, তেজস্ক্রিয় নিউক্লিয়াসের সংখ্যা প্রথমে দ্রুত হারে কমে এবং তারপর চিরায়ত সূচকীয় পদ্ধতিতে আরও ধীরে ধীরে হ্রাস পায়, এটি t = ০ সময়ের সংখ্যা N₀ থেকে কমতে থাকে।

ক্ষয় ধ্রুবকের প্রভাব নিম্নলিখিত চিত্রে দেখা যেতে পারে:

এখানে তিনটি বক্ররেখাই প্রকৃতিগতভাবে সূচকীয়, কেবল ক্ষয় ধ্রুবকটি ভিন্ন। লক্ষ্য করুন যে, যখন ক্ষয় ধ্রুবকের মান কম থাকে, তখন বক্ররেখাটি তুলনামূলকভাবে ধীরে ধীরে হ্রাস পায় এবং যখন ক্ষয় ধ্রুবকের মান বেশি থাকে, তখন বক্ররেখাটি খুব দ্রুত হ্রাস পায়।

ক্ষয় ধ্রুবক হলো প্রতিটি তেজস্ক্রিয় নিউক্লাইডের বৈশিষ্ট্যের সূচক। ইউরেনিয়াম-২৩৮-এর মতো কিছু নিউক্লাইডে এর মান কম থাকে এবং তাই পদার্থটি দীর্ঘ সময় ধরে বেশ ধীরে ধীরে ক্ষয়প্রাপ্ত হয়। টেকনেশিয়াম-৯৯এম-এর মতো অন্যান্য নিউক্লিয়াসের ক্ষয় ধ্রুবক তুলনামূলকভাবে বেশি থাকে এবং সেগুলো অনেক দ্রুত ক্ষয়প্রাপ্ত হয়।

তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্রটিকে অন্য আরেকটি দৃষ্টিকোণ থেকেও বিবেচনা করা সম্ভব, যেখানে সময়ের সাপেক্ষে N_t-এর লগারিদমের একটি লেখচিত্র অঙ্কন করা হয়। অন্য কথায়, আমাদের ওপরের বিশ্লেষণ থেকে নিচের সমীকরণটি প্লট করার মাধ্যমে আমরা পাই:

$\ln \left(\frac{N_t}{N_0}\right)=-\lambda t$

যার আকার হয়

$\ln N_t=-\lambda t+\ln N_0$

লক্ষ্য করুন যে এই রাশিটি সহজভাবে y = mx + c আকারের একটি সমীকরণ, যেখানে m = -l এবং c = ln N₀। ফলস্বরূপ, এটি -l ঢালবিশিষ্ট একটি সরলরেখার সমীকরণ, যা নিম্নলিখিত চিত্রে দেখানো হয়েছে। এই ধরনের লেখচিত্র কখনও কখনও উপযোগী হয় যখন আমরা সরাসরি সূচকীয় আচরণের জটিলতা ছাড়াই কোনো পরিস্থিতি বিবেচনা করতে চাই।

অর্ধায়ু

আমাদের বেশিরভাগকেই সহজাতভাবে লগারিদমিক বা সূচকীয় পরিভাষায় চিন্তা করতে শেখানো হয়নি, যদিও অনেক প্রাকৃতিক ঘটনাই সূচকীয় আচরণ প্রদর্শন করে। বিদ্যালয়ে আমাদের যে ধরনের চিন্তাভাবনা শেখানো হয়েছে তার বেশিরভাগই রৈখিক পরিবর্তনের ওপর ভিত্তি করে গঠিত এবং ফলস্বরূপ, তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্রটি সহজভাবে উপলব্ধি করা আমাদের পক্ষে বেশ কঠিন। এই কারণে, সূত্রটি থেকে সাধারণত একটি সূচক নির্ণয় করা হয়, যা কি ঘটছে সে সম্পর্কে আমাদের আরও স্পষ্টভাবে চিন্তা করতে সাহায্য করে।

এই সূচকটিকে অর্ধায়ু বলা হয় এবং এটি একটি তেজস্ক্রিয় আইসোটোপের তেজস্ক্রিয়তা অর্ধাংশে নেমে আসতে যে সময় লাগে তা প্রকাশ করে। লেখচিত্রের দৃষ্টিকোণ থেকে আমরা বলতে পারি যে যখন:

$N_t=\frac{N_0}{2}$

গৃহীত সময় হলো অর্ধায়ু:

উল্লেখ্য যে, কোনো পদার্থ কতক্ষণ তেজস্ক্রিয় থাকবে অর্ধায়ু তাকে প্রকাশ করে না, বরং এটি কেবল সেই সময়কালকে বোঝায় যার মধ্যে এর তেজস্ক্রিয়তা অর্ধেক হয়ে যায়। কিছু তেজস্ক্রিয় আইসোটোপের অর্ধায়ুর উদাহরণ নিচের সারণিতে দেওয়া হলো। লক্ষ্য করুন যে, এদের মধ্যে কয়েকটির অর্ধায়ু তুলনামূলকভাবে কম। এগুলোই সাধারণত চিকিৎসাগত রোগ নির্ণয়ের কাজে ব্যবহৃত হয়, কারণ রোগীর শরীরে প্রয়োগের পর এগুলো বেশিক্ষণ তেজস্ক্রিয় থাকে না এবং এর ফলে বিকিরণের মাত্রাও তুলনামূলকভাবে কম হয়।

রেডিওআইসোটোপ	অর্ধায়ু (আনুমানিক)
81mKr	১৩ সেকেণ্ড
99mTc	৬ ঘন্টা
131I	৮ দিন
51Cr	১ মাস
137Cs	৩০ বছর
241Am	৪৬২ বছর
226Ra	১৬২০ বছর
238U	৪.৫১ x ১০৯ বছর

কিন্তু যখন কাছাকাছি কোনো রেডিওআইসোটোপ উৎপাদন কেন্দ্র না থাকে, তখন এগুলো ব্যবহার করতে গেলে একটি যোগাযোগ ও সরবরাহ সংক্রান্ত সমস্যা তৈরি হয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আমরা একজন রোগীর ওপর গবেষণার জন্য ^99mTc ব্যবহার করতে চাই এবং এই আইসোটোপ তৈরির জন্য নিকটতম পারমাণবিক কেন্দ্রটি ৫,০০০ কিলোমিটার দূরে। উৎপাদন কেন্দ্রটি সিডনিতে এবং রোগীটি পার্থে থাকতে পারে। পারমাণবিক কেন্দ্রে আইসোটোপটি তৈরি করার পর, এটি ৬ ঘণ্টার অর্ধায়ুতে ক্ষয় হতে থাকবে। তাই আমরা উপাদানটি একটি ট্রাকে তুলে সিডনি বিমানবন্দরে নিয়ে যাই। ট্রাকটি সিডনির যানজটে বসে থাকার সময় আইসোটোপটি ক্ষয় হতে থাকে, তারপর পার্থে নিয়ে যাওয়ার জন্য বিমানের অপেক্ষায় থাকার সময় আরও ক্ষয় হয়। এরপর বিমানে করে পার্থে নিয়ে যাওয়ার সময় আরও ক্ষয় হয় এবং এভাবেই চলতে থাকে। যখন এটি আমাদের রোগীর কাছে পৌঁছাবে, ততক্ষণে এর তেজস্ক্রিয়তা যথেষ্ট পরিমাণে কমে যাবে, সম্ভবত রোগীর ওপর গবেষণা চালানোর জন্য এটি অকেজো হয়ে পড়ার পর্যায়ে চলে যাবে। আর যদি আমাদের রোগীর জন্য ^99mmTc-এর পরিবর্তে ^81mmKr ব্যবহার করার প্রয়োজন হয়, তাহলে সমস্যাটি কি হবে? এই বইয়ের অন্য একটি অধ্যায়ে আপনারা দেখতে পাবেন যে, এই ধরনের সরবরাহগত প্রতিবন্ধকতাগুলো বেশ কিছু উদ্ভাবনী সমাধানের জন্ম দিয়েছে। সে সম্পর্কে পরে আরও আলোচনা করা হবে!

ওপরের সারণী থেকে আপনি বুঝতে পারবেন যে অন্যান্য আইসোটোপের অর্ধায়ু অনেক দীর্ঘ। উদাহরণস্বরূপ, ²²⁶Ra-এর অর্ধায়ু ১,৫০০ বছরেরও বেশি। অতীতে চিকিৎসাক্ষেত্রে নিরাময়সংক্রান্ত উদ্দেশ্যে এই আইসোটোপটি ব্যবহার করা হতো। এখানে সরবরাহগত সমস্যাগুলো নিয়ে ভাবুন। এগুলো স্পষ্টতই উৎপাদনস্থল থেকে ব্যবহারস্থলে পদার্থটি পরিবহনের সাথে সম্পর্কিত নয়। বরং এগুলো ব্যবহারস্থলে পৌঁছোনোর পর পদার্থটি কিভাবে সংরক্ষণ করা হবে, তার সাথে সম্পর্কিত। আমাদের অবশ্যই একটি সংরক্ষণাগার থাকতে হবে যাতে পদার্থটি দীর্ঘ সময়ের জন্য নিরাপদে রাখা যায়। কিন্তু কত সময়ের জন্য? চিকিৎসাক্ষেত্রে ব্যবহৃত তেজস্ক্রিয়তার পরিমাণের জন্য একটি সাধারণ নিয়ম হলো, তেজস্ক্রিয়তা প্রায় ১০টি অর্ধায়ু পর্যন্ত উল্লেখযোগ্য থাকবে। সুতরাং, ²²⁶Ra সংরক্ষণের জন্য আমাদের প্রায় ১৬,০০০ বছরের একটি নিরাপদ পরিবেশ প্রয়োজন হবে! এই সংরক্ষণাগারটি ভূমিকম্প, বোমা হামলা ইত্যাদির মতো অনেক অপ্রত্যাশিত ঘটনা থেকে সুরক্ষিত রাখতে হবে এবং এমনভাবে রক্ষণাবেক্ষণ করতে হবে যা আমাদের নাতি-নাতনিদের নাতি-নাতনিরাও বুঝতে পারে। নিঃসন্দেহে এটি একটি অত্যন্ত গুরুদায়িত্ব!

ক্ষয় ধ্রুবক এবং অর্ধায়ুর মধ্যে সম্পর্ক

উপরোক্ত আলোচনার ভিত্তিতে আপনার এটা উপলব্ধি করা উচিত যে, ক্ষয় ধ্রুবক এবং অর্ধায়ুর মধ্যে একটি সম্পর্ক রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যখন ক্ষয় ধ্রুবক কম হয়, তখন অর্ধায়ু দীর্ঘ হওয়া উচিত এবং একইভাবে যখন ক্ষয় ধ্রুবক বেশি হয়, তখন অর্ধায়ু কম হওয়া উচিত। কিন্তু এই সম্পর্কের প্রকৃতি ঠিক কি?

অর্ধায়ুর সংজ্ঞা ব্যবহার ক'রে এবং এটিকে তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্রে প্রয়োগ ক'রে আমরা সহজেই এই প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি।

সূত্রটি আবারও আমাদের বলে যে, যেকোনো সময়ে, t:

$N_t=N_0\text{exp}(-\lambda t)$

এবং অর্ধায়ুর সংজ্ঞা আমাদের বলে যে:

$N_t=\frac{N_0}{2}$

যখন

$t=t_{\frac{1}{2}}$

অতএব, আমরা N_t এবং t-এর মান বসিয়ে তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্রটি নিম্নরূপে পুনরায় লিখতে পারি:

$\frac{N_0}{2}=N_0\text{exp}(-\lambda t_{\frac{1}{2}})$

অতএব

$\frac{1}{2}=\text{exp}(-\lambda t_{\frac{1}{2}})$

$\therefore 2^{-1}=\text{exp}(-\lambda t_{\frac{1}{2}})$

$\therefore \ln 2^{-1}=-\lambda t_{\frac{1}{2}}$

$\therefore \ln 2=\lambda t_{\frac{1}{2}}$

$\therefore 0.693=\lambda t_{\frac{1}{2}}$

$t_{\frac{1}{2}}=\frac{0.693}{\lambda }$

এবং

$\lambda =\frac{0.693}{t_{\frac{1}{2}}}$

এই শেষ দুটি সমীকরণ ক্ষয় ধ্রুবক এবং অর্ধায়ুর মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশ করে। তেজস্ক্রিয়তা সম্পর্কিত গাণিতিক প্রশ্ন সমাধান করার সময় আপনি দেখতে পাবেন যে এগুলো খুব দরকারি এবং সাধারণত একটি গাণিতিক সমস্যা সমাধানের প্রথম ধাপ গঠন করে।

তেজস্ক্রিয়তার একক

তেজস্ক্রিয়তা আবিষ্কারের সম্মানে অঁরি বেকেরেলের নামানুসারে তেজস্ক্রিয়তার এসআই বা মেট্রিক এককের নামকরণ করা হয়েছে এবং একে বেকেরেল বলা হয়, যার প্রতীক Bq। বেকেরেলকে তেজস্ক্রিয় পদার্থের সেই পরিমাণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা প্রতি সেকেন্ডে ১টি ক্ষয় ঘটায়।

চিকিৎসাগত রোগনির্ণয়ের কাজে ১ বেকেরেল (Bq) তেজস্ক্রিয়তার একটি বেশ ছোট পরিমাণ। প্রকৃতপক্ষে, এর সংজ্ঞা মনে রাখা সহজ যদি আপনি এটিকে তেজস্ক্রিয়তার একটি অত্যন্ত নগণ্য পরিমাণ হিসেবে ভাবেন। এই কারণে কিলোবেকেরেল (kBq) এবং মেগাবেকেরেল (MBq) বেশি ব্যবহৃত হয়।

তেজস্ক্রিয়তার প্রচলিত এককটির নামকরণ করা হয়েছে মারি ক্যুরির নামে এবং একে ক্যুরি বলা হয়, যার প্রতীক হলো Ci। ক্যুরিকে সেই পরিমাণ তেজস্ক্রিয় পদার্থ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা প্রতি সেকেন্ডে ৩.৭ x ১০¹⁰ হারে ক্ষয় ঘটায়। অন্য কথায়, প্রতি সেকেন্ডে ৩৭ হাজার মিলিয়ন ক্ষয়, যা আপনি নিশ্চয়ই বুঝতে পারছেন, তেজস্ক্রিয়তার একটি বিশাল পরিমাণ। তাই চিকিৎসাগত রোগনির্ণয়ের কাজে মিলিক্যুরি (mCi) এবং মাইক্রোক্যুরি (µCi) বেশি ব্যবহৃত হয়।

দুটি একক কেন? মূলত, পরিমাপের অন্যান্য সমস্ত এককের মতোই এটিও নির্ভর করে আপনি বিশ্বের কোন অংশে আছেন তার ওপর। উদাহরণস্বরূপ, কিলোমিটার ইউরোপ এবং অস্ট্রেলিয়ায় দূরত্বের একক হিসাবে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় এবং মাইল মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে ব্যবহৃত হয়। সুতরাং, আপনি যদি একটি আমেরিকান পাঠ্যপুস্তক পড়েন, তাহলে তেজস্ক্রিয়তার একক হিসাবে ক্যুরি ব্যবহৃত হতে দেখবেন; যদি আপনি একটি অস্ট্রেলিয়ান বই পড়েন, তাহলে সম্ভবত বেকেরেলের উল্লেখ থাকবে; এবং আপনি যদি একটি ইউরোপীয় বই পড়েন, তাহলে উভয় এককই ব্যবহৃত হতে পারে। তাই, আপনার জন্য উভয় এককই জানা এবং বোঝা চাই।

বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্রের উপর একটি বহুনির্বাচনী প্রশ্ন পেতে এখানে ক্লিক করুন।

প্রশ্নসমূহ

এই অধ্যায়ে উপস্থাপিত বিষয়বস্তু সম্পর্কে আপনার ধারণা উন্নত করতে সাহায্য করার জন্য নিচে তিনটি প্রশ্ন দেওয়া হলো। প্রথমটি তুলনামূলকভাবে সহজ এবং এটি তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্রের প্রয়োগ এবং অর্ধায়ু ধারণা সম্পর্কে আপনার বোধগম্যতাকে যাচাই করবে। দ্বিতীয় প্রশ্নটি অনেক বেশি কঠিন এবং এটি আপনাকে তেজস্ক্রিয় পদার্থের একটি নমুনায় ক্ষয়প্রাপ্ত তেজস্ক্রিয় নিউক্লিয়াসের সংখ্যার সাথে তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্রের সম্পর্ক স্থাপন করতে সাহায্য করবে। তৃতীয় প্রশ্নটি কিছুটা ভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে একই ধরনের একটি প্রশ্ন করার মাধ্যমে আপনাকে দ্বিতীয় প্রশ্নে ব্যবহৃত পদ্ধতিটি বুঝতে সাহায্য করবে।

প্রশ্ন ১

(ক) ^99mTc-এর অর্ধায়ু ৬ ঘন্টা। কত সময় পরে তেজস্ক্রিয় আইসোটোপটির ১/১৬ অংশ অবশিষ্ট থাকবে?

(খ) অন্য কোনো উপায়ে আপনার উত্তরটি যাচাই করুন।

উত্তর:

(ক) ক্ষয় ধ্রুবক এবং অর্ধায়ুর মধ্যে আমরা পূর্বে যে সম্পর্কটি স্থাপন করেছি, তা থেকে আমরা নিম্নোক্তভাবে ক্ষয় ধ্রুবক গণনা করতে পারি:

$\lambda =\frac{0.693}{t_{\frac{1}{2}}}=\frac{0.693}{6}=0.1155{\text{hr}}^{-1}$

এখন তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্র প্রয়োগ ক'রে আমরা পাই,

$N_t=N_0\text{exp}(-\lambda t)$

আমরা এটিকে নিম্নোক্ত আকারে পুনরায় লিখতে পারি:

$\frac{N_t}{N_0}=\text{exp}(-\lambda t)$

প্রশ্ন থেকে জানা যায় যে N₀ তার মানের ১/১৬ ভাগে হ্রাস পেয়েছে, অর্থাৎ:

$\frac{N_t}{N_0}=\frac{1}{16}$

অতএব

$\frac{1}{16}=\text{exp}(-0.1155t)$

যার মান আমাদের t-এর জন্য বের করতে হবে। এটি করার একটি উপায় হলো নিম্নরূপ:

$16^{-1}=\text{exp}(-0.1155t)$

$\therefore -\ln 16=-0.1155t$

$t=\frac{\ln 16}{0.1155}=24\text{hours}$

সুতরাং, তেজস্ক্রিয়তার ১/১৬ অংশ অবশিষ্ট থাকতে ২৪ ঘন্টা সময় লাগবে।

(খ) এই উত্তরটি যাচাই করার একটি উপায় হলো অর্ধায়ুর সংজ্ঞা ব্যবহার করা। আমাদের বলা হয়েছে যে ^99mTc-এর অর্ধায়ু ৬ ঘন্টা। অতএব, ছয় ঘন্টা পর তেজস্ক্রিয়তার অর্ধেক অবশিষ্ট থাকে।

অতএব, ১২ ঘন্টা পর এক-চতুর্থাংশ; ১৮ ঘন্টা পর এক-অষ্টমাংশ এবং ২৪ ঘন্টা পর এক-ষোলাংশ অবশিষ্ট থাকে। এবং আমরা (ক) অংশের মতোই একই উত্তরে পৌঁছাই। সুতরাং আমরা অবশ্যই সঠিক!

উল্লেখ্য যে, এই দ্বিতীয় পদ্ধতিটি তখনই কার্যকর যখন আমরা তুলনামূলকভাবে সহজ পরিস্থিতিতে কাজ করি, যেখানে তেজস্ক্রিয়তা অর্ধেক, এক-চতুর্থাংশ ইত্যাদি হয়ে যায়। কিন্তু ধরা যাক, প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করা হয়েছে যে তেজস্ক্রিয়তা তার প্রাথমিক মানের দশ ভাগের এক ভাগে নেমে আসতে কত সময় লাগবে। এই ক্ষেত্রে অর্ধায়ুর সংজ্ঞা থেকে অনুমান করা বেশ কঠিন এবং ওপরের (ক) অংশের জন্য ব্যবহৃত গাণিতিক পদ্ধতিটি থেকে আরও সহজে উত্তর পাওয়া যাবে।

প্রশ্ন ২

১ গ্রাম ²²⁶Ra নমুনার তেজস্ক্রিয়তা নির্ণয় করুন, যেখানে t_1/2: ১৬২০ বছর এবং অ্যাভোগাড্রোর সংখ্যা: ৬.০২৩ x ১০^২৩।

উত্তর:

আমরা প্রশ্ন ১(ক)-এর মতো করেই নিম্নলিখিত সমীকরণটি ব্যবহার ক'রে অর্ধায়ু থেকে ক্ষয় ধ্রুবক গণনা ক'রে উত্তর শুরু করতে পারি:

$\lambda =\frac{0.693}{t_{\frac{1}{2}}}=\frac{0.693}{1620}=4.28\cdot 10^{-4}{\text{year}}^{-1}$

$\therefore \lambda =1.36\cdot 10^{-11}{s}^{-1}$

লক্ষ্য করুন যে, ওপরে 'প্রতি বছর' থেকে 'প্রতি সেকেন্ডে' রূপান্তর করার ক্ষেত্রে ব্যবহৃত বছরের দৈর্ঘ্য হলো ৩৬৫.২৫ দিন, যা অধিবর্ষের হিসাব রাখার জন্য করা হয়েছে। এছাড়াও, 'প্রতি সেকেন্ড' এককে রূপান্তর করার কারণ হলো, তেজস্ক্রিয়তার একক প্রতি সেকেন্ডে ক্ষয়প্রাপ্ত নিউক্লিয়াসের সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা হয়।

দ্বিতীয়ত, আমরা গণনা করে দেখতে পারি যে ১ গ্রাম ²²⁶Ra-তে রয়েছে:

$N=\frac{(\text{Avogadro No.})(\text{Mass})}{\text{Mass Number}}=\frac{(6.023\cdot 10^{23})(1g)}{226}=2.7\cdot 10^{21}\text{nuclei}$

তৃতীয়ত, আমাদের তেজস্ক্রিয় ক্ষয় সূত্রটিকে প্রতি একক সময়ে ক্ষয়প্রাপ্ত নিউক্লিয়াসের সংখ্যার সাপেক্ষে প্রকাশ করতে হবে। আমরা নিম্নলিখিতভাবে সমীকরণটিকে অন্তরজ করে এটি করতে পারি:

$N=N_0\text{exp}(-\lambda t)$

$\therefore \frac{dN}{dt}=N_0\cdot -\lambda \text{exp}(-\lambda t)=-\lambda N_0\text{exp}(-\lambda t)$

$\therefore \frac{dN}{dt}=-\lambda N$

$\therefore \left|\frac{dN}{dt}\right|=\lambda N$

ওপরের ফলাফলটিকে পরম সংখ্যায় প্রকাশ করার কারণ হলো বিয়োগ চিহ্নটি বাদ দেওয়া, যেহেতু আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে সংখ্যাটি হ্রাস পাচ্ছে।

এখন আমরা λ এবং N-এর জন্য ওপরে প্রাপ্ত তথ্যগুলো ব্যবহার করতে পারি:

$\left|\frac{dN}{dt}\right|=(1.36\cdot 10^{-11})(2.7\cdot 10^{21})$

$\therefore \left|\frac{dN}{dt}\right|=3.6\cdot 10^{10}\text{decays per second}$

সুতরাং, আমাদের ১ গ্রাম রেডিয়াম-২২৬ নমুনার তেজস্ক্রিয়তা প্রায় ১ ক্যুরি (Ci)।

এটি কোনো আশ্চর্যজনক উত্তর নয়, কারণ ক্যুরির সংজ্ঞাটি মূলত ১ গ্রাম রেডিয়াম-২২৬-এর তেজস্ক্রিয়তা হিসেবেই কল্পনা করা হয়েছিল!

প্রশ্ন ৩

^99mTc-এর সর্বনিম্ন ভর কত হলে এর তেজস্ক্রিয়তা ১ মেগাবেকেরেল (MBq) হতে পারে? ধরে নিন এর অর্ধায়ু ৬ ঘণ্টা এবং অ্যাভোগাড্রোর সংখ্যা ৬.০২৩ x ১০^২৩।

উত্তর

ক্ষয় ধ্রুবক এবং অর্ধায়ুর মধ্যেকার সম্পর্কটি দিয়ে আবার শুরু করা যাক:

$\lambda =\frac{0.693}{6}=0.1155{\text{hour}}^{-1}=3.21\cdot 10^{-5}$

দ্বিতীয়ত, প্রশ্নটিতে বলা হয়েছে যে তেজস্ক্রিয়তার পরিমাণ হলো 1 MBq। সুতরাং, যেহেতু 1 MBq = 1 x 10⁶ প্রতি সেকেন্ডে ক্ষয়, অর্থাৎ

$\left|\frac{dN}{dt}\right|=\lambda N=1\cdot 10^6\text{dps}$

$\therefore N=\frac{\left|\frac{dN}{dt}\right|}{\lambda }=\frac{1\cdot 10^6}{3.21\cdot 10^{-5}}=3.116\cdot 10^{10}$

অবশেষে এই নিউক্লিয়াসগুলোর ভর নিম্নোক্তভাবে গণনা করা যেতে পারে:

$\text{Mass of N nuclei}=\frac{(\text{No. of Nuclei})(\text{Mass No.})}{\text{Avogadro Number}}$

$=\frac{(3.116\cdot 10^{10})(99)}{6.023\cdot 10^{23}}=5.122\cdot 10^{-12}\text{g}$

অন্য কথায়, পাঁচ পিকোগ্রামের সামান্য বেশি ভরের ^99mTc প্রতি সেকেন্ডে দশ লক্ষ গামা-রশ্মি নির্গত করতে পারে। এই ফলাফলটি বিকিরণ সুরক্ষা সম্পর্কে আপনার শেখা একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়কে আরও শক্তিশালী করে, আর তা হলো, তেজস্ক্রিয় পদার্থকে ঠিক সেভাবেই বিবেচনা করা উচিত, যেভাবে আপনি রোগ সৃষ্টিকারী ব্যাকটেরিয়াকে সামলান!