রৈখিক বীজগণিত/ভেক্টর জগতের সংজ্ঞা ও উদাহরণ/সমাধান

যেকোনো ভেক্টর জগতের ক্ষেত্রে, এমন একটি উপসেট যা ওই মূল জগতের অপারেশন বা প্রক্রিয়াগুলো উত্তরাধিকারসূত্রে গ্রহণ করে নিজেই একটি স্বতন্ত্র ভেক্টর জগৎ হিসেবে আত্মপ্রকাশ করে (যেমন, ত্রিমাত্রিক বাস্তব ভেক্টর জগৎ $ℝ^{3}$ -এর অভ্যন্তরে মূলবিন্দুগামী যেকোনো সমতল), তাকে একটি উপজগৎ বা সাবস্পেস বলা হয়।

এটি প্রমাণ করে দেখান যে, ${a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} | a_{0} + a_{1} + a_{2} = 0}$ সেটটি দ্বিতীয় ঘাতের বহুপদী সমূহের (degree two polynomials) সমন্বয়ে গঠিত ভেক্টর জগতের একটি বৈধ উপজগৎ।
নিচের ম্যাট্রিক্স সেটটি যে $2 \times 2$ আকারের ম্যাট্রিক্স সমূহের ভেক্টর জগতের একটি উপজগৎ, তা প্রদর্শন করুন:
${(\begin{matrix} a & b \\ c & 0 \end{matrix}) | a + b = 0}$
প্রমাণ করুন যে, একটি বাস্তব ভেক্টর জগতের যেকোনো অশূন্য উপসেট $S$ তখনই একটি উপজগৎ হিসেবে বিবেচিত হবে, যদি এবং কেবল যদি এটি ভেক্টর যুগলের রৈখিক সমাবেশ বা লিনিয়ার কম্বিনেশনের অধীনে বদ্ধ থাকে। অর্থাৎ, যদি $c_{1}, c_{2} \in ℝ$ দুটি স্কেলার হয় এবং ${\vec{s}}_{1}, {\vec{s}}_{2} \in S$ দুটি ভেক্টর হয়, তবে তাদের রৈখিক সমাবেশ $c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2}$ -কেও অবশ্যই $S$ সেটের অন্তর্ভুক্ত হতে হবে।

উত্তর

এখানে আমরা সংজ্ঞা ১.১-এ বর্ণিত ভেক্টর জগতের শর্তাবলি যাচাই করার একটি সংক্ষিপ্ত রূপরেখা তুলে ধরছি। যোগের অধীনে আবদ্ধতা বা 'অ্যাডিটিভ ক্লোজার' (Additive closure) এখানে কার্যকর থাকে, কারণ যদি $a_{0} + a_{1} + a_{2} = 0$ এবং $b_{0} + b_{1} + b_{2} = 0$ হয়, তবে দেখা যায় যে:
$(a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}) + (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2}) = (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{2} + b_{2}) x^{2}$
এই ফলাফলটি উক্ত সেটের অন্তর্ভুক্ত হবে, যেহেতু $(a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) + (a_{2} + b_{2}) = (a_{0} + a_{1} + a_{2}) + (b_{0} + b_{1} + b_{2})$ এর মান শূন্যের সমান। ভেক্টর জগতের দ্বিতীয় থেকে পঞ্চম শর্তগুলো একইভাবে অত্যন্ত সহজভাবে প্রমাণ করা সম্ভব। স্কেলার গুণনের অধীনে আবদ্ধতা বা 'ক্লোজার আন্ডার স্কেলার মাল্টিপ্লিকেশন' (Closure under scalar multiplication) এখানে বজায় থাকে, কারণ যদি $a_{0} + a_{1} + a_{2} = 0$ হয়, তবে:
$r \cdot (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}) = (r a_{0}) + (r a_{1}) x + (r a_{2}) x^{2}$
এটিও ওই সেটের একটি উপাদান হবে, কারণ $r a_{0} + r a_{1} + r a_{2} = r (a_{0} + a_{1} + a_{2})$ এর মানও শূন্য হয়ে যায়। এই ক্ষেত্রে অবশিষ্ট শর্তগুলোও অত্যন্ত সহজবোধ্য এবং সরাসরি যাচাইযোগ্য।
এই সমস্যাটির সমাধান পদ্ধতি এবং যুক্তিগুলো পূর্ববর্তী উত্তরের সাথে যথেষ্ট সাদৃশ্যপূর্ণ।
ধরা যাক, আলোচ্য ভেক্টর জগতটি হলো $V$ । এখানে আমাদের দুটি দিক বা তাৎপর্য বিবেচনা করতে হবে: প্রথমত বাম থেকে ডানে, যদি $S$ একটি সাবস্পেস বা উপজগত হয়, তবে এটি ভেক্টর জোড়ার রৈখিক বিন্যাস বা লিনিয়ার কম্বিনেশনের অধীনে আবদ্ধ থাকবে। দ্বিতীয়ত ডান থেকে বামে, যদি কোনো অশূন্য উপসেট ভেক্টর জোড়ার রৈখিক বিন্যাসের অধীনে আবদ্ধ থাকে, তবে সেটি একটি সাবস্পেস হিসেবে গণ্য হবে। বাম থেকে ডানের তাৎপর্যটি প্রমাণ করা বেশ সহজ; আমরা এখানে অন্য দিকটি অর্থাৎ ডান থেকে বামের বিষয়টি ব্যাখ্যা করার জন্য ধরে নেব যে $S$ একটি অশূন্য এবং আবদ্ধ সেট, এবং এরপর সংজ্ঞা ১.১-এর শর্তাবলি পরীক্ষা করে দেখব। প্রথমত, যোগের অধীনে আবদ্ধতা প্রদর্শনের জন্য, যদি ${\vec{s}}_{1}, {\vec{s}}_{2} \in S$ হয়, তবে ${\vec{s}}_{1} + {\vec{s}}_{2} \in S$ হবে, কারণ একে ${\vec{s}}_{1} + {\vec{s}}_{2} = 1 \cdot {\vec{s}}_{1} + 1 \cdot {\vec{s}}_{2}$ হিসেবে প্রকাশ করা যায়। দ্বিতীয়ত, যেকোনো ${\vec{s}}_{1}, {\vec{s}}_{2} \in S$ -এর জন্য, যেহেতু যোগের প্রক্রিয়াটি মূল ভেক্টর জগত $V$ থেকে উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত, তাই $S$ -এর মধ্যে ${\vec{s}}_{1} + {\vec{s}}_{2}$ -এর যোগফল $V$ -এর মধ্যেকার ${\vec{s}}_{1} + {\vec{s}}_{2}$ -এর যোগফলের সমান হবে। আবার এটি $V$ -এর মধ্যে ${\vec{s}}_{2} + {\vec{s}}_{1}$ -এর সমান, যা শেষ পর্যন্ত $S$ -এর মধ্যে ${\vec{s}}_{2} + {\vec{s}}_{1}$ -এর সমান হিসেবে প্রমাণিত হয়। তৃতীয় শর্তটির ক্ষেত্রে যুক্তিগুলো দ্বিতীয় শর্তের যুক্তির মতোই প্রায় অভিন্ন। চতুর্থ শর্তের ক্ষেত্রে, ধরা যাক $\vec{s}$ হলো অশূন্য সেট $S$ -এর একটি উপাদান। এখানে লক্ষণীয় যে, $0 \cdot \vec{s} = \vec{0} \in S$ ; সুতরাং এটি দেখানো খুবই সহজ যে $V$ -এর শূন্য ভেক্টর $\vec{0}$ উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত প্রক্রিয়ার অধীনে $S$ -এর যোগজ অভেদক (additive identity) হিসেবে কাজ করে। পঞ্চম শর্তটিও এখানে সন্তোষজনকভাবে পূরণ হয়, কারণ যেকোনো $\vec{s} \in S$ -এর জন্য রৈখিক বিন্যাসের অধীনে আবদ্ধতা ধর্মটি দেখায় যে $0 \cdot \vec{0} + (- 1) \cdot \vec{s}$ ভেক্টরটি $S$ -এর মধ্যেই অবস্থান করছে। এটি যে উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত প্রক্রিয়ার অধীনে $\vec{s}$ -এর যোগজ বিপরীত, তা প্রমাণ করা একটি সাধারণ গাণিতিক রুটিন কাজ মাত্র। অবশিষ্ট শর্তগুলোর প্রমাণ পদ্ধতিও একইভাবে সম্পন্ন করা সম্ভব।

টেমপ্লেট:BookCat

রৈখিক বীজগণিত/ভেক্টর জগতের সংজ্ঞা ও উদাহরণ/সমাধান

সমাধানসমূহ

পরিভ্রমণ বাছাইতালিকা

অনুসন্ধান