রৈখিক বীজগণিত/সাধারণ = বিশেষ + সমজাতীয়

সমাধান সেটের বিবরণ

পূর্ববর্তী উপ-অনুচ্ছেদে সমাধান সেটের অনেক বিবরণ দেওয়া আছে। সেগুলো সবই একটি প্যাটার্ন মেনে চলে। তাদের মধ্যে একটি ভেক্টর থাকে যা সিস্টেমটির একটি নির্দিষ্ট সমাধান, এর সাথে কিছু অন্যান্য ভেক্টরের একটি অনির্দিষ্ট সমাবেশ যোগ করা হয়। উদাহরণ ২.১৩ এর সমাধান সেটটি তা দেখায়।

$\{\underset{\begin{array}{c}\\ \text{particular}\\ \text{solution}\end{array}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)}}+\underset{\begin{array}{c}\\ \text{unrestricted}\\ \text{combination}\end{array}}{\underbrace{w\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\\ 1\\ 0\end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c}1/2\\ -1\\ 1/2\\ 0\\ 1\end{array}\right)}}|w,u\in ℝ\}$

এই সমাবেশটি অনির্দিষ্ট কারণ $w$ এবং $u$ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে — এখানে "যেন $2w-u=0$" জাতীয় কোনো শর্ত নেই যা $w$ ও $u$ জোড়াগুলোকে সীমাবদ্ধ করে।

এই উদাহরণটি দেখায় যে, একটি অসীম সমাধান সেটও একই প্যাটার্ন বা নিয়ম মেনে চলে। আমরা অন্য দুই ধরণের সমাধান সেটকেও একই নিয়মের মধ্যে পড়ে বলে ধরে নিতে পারি। একটি মাত্র উপাদান বিশিষ্ট সমাধান সেট এই নিয়মে মিলে যায় কারণ এটির একটি নির্দিষ্ট সমাধান থাকে এবং এর অনিয়ন্ত্রিত বা মুক্ত কম্বিনেশনের অংশটি হয় একটি শূন্য সমষ্টি (অর্থাৎ, উপরের উদাহরণের মতো দুটি ভেক্টরের কম্বিনেশন বা একটি ভেক্টরের কম্বিনেশন হওয়ার পরিবর্তে, এটি হয় কোনো ভেক্টর ছাড়া বা শূন্য ভেক্টরের কম্বিনেশন)। আর একটি শূন্য-উপাদান বিশিষ্ট সমাধান সেটও এই নিয়মে মিলে যায় কারণ এটির কোনো নির্দিষ্ট সমাধান থাকে না, এবং তাই এই আকারের যোগফলের সেটটি সম্পূর্ণ খালি বা ফাঁকা হয়।

আমরা দেখাব যে পূর্ববর্তী উপ-অনুচ্ছেদের উদাহরণগুলো প্রতিনিধিত্বমূলক, এবং উপরে আলোচিত বিবরণ প্যাটার্নটি প্রতিটি সমাধান সেটের জন্যই প্রযোজ্য।

এই বিবরণের দুইটি অংশ: নির্দিষ্ট সমাধান $\overrightarrow{p}$ এবং $\overrightarrow{\beta }$ গুলোর অনির্দিষ্ট রৈখিক সমাবেশ। আমরা উপপাদ্যটি দুইটি সংশ্লিষ্ট অংশে প্রমাণ করব, দুইটি লেমার সাহায্যে।

সমজাতীয় সিস্টেমসমূহ

প্রথমে আমরা অনির্দিষ্ট সমাবেশ অংশের দিকে মনোযোগ দেব। এটি করার জন্য আমরা এমন সিস্টেম বিবেচনা করি যেখানে শূন্য ভেক্টর একটি নির্দিষ্ট সমাধান, ফলে $\overrightarrow{p}+c_1{\overrightarrow{\beta }}_1+\dots +c_k{\overrightarrow{\beta }}_k$ কে সংক্ষেপে $c_1{\overrightarrow{\beta }}_1+\dots +c_k{\overrightarrow{\beta }}_k$ লেখা যায়।

(এগুলো "সমজাতীয়" কারণ এর সকল পদ চলকের একই ঘাত — প্রথম ঘাত — বহন করে, এমনকি একটি "$0x_0$" পদও যা আমরা কল্পনায় ডানপাশে বসাতে পারি।)

মূল সিস্টেমের চেয়ে সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেম অধ্যয়নের একটি বড় সুবিধা আছে। অসমজাতীয় সিস্টেমগুলো অসংগত হতে পারে। কিন্তু একটি সমজাতীয় সিস্টেম অবশ্যই সংগত হবে কারণ অন্তত একটি সমাধান, শূন্য ভেক্টর, সবসময় থাকে।

বিভিন্ন আকৃতির শূন্য ভেক্টর আছে, যেমন এক-সারির শূন্য ভেক্টর, দুই-সারির শূন্য ভেক্টর ইত্যাদি। তবু, প্রাসঙ্গিক আকারটি পরিষ্কার হলে মানুষ প্রায়ই "শূন্য ভেক্টর" বলেই উল্লেখ করে।

এখন উপপাদ্য ৩.১ এর দুই অংশ প্রমাণের ভাষা আমাদের হাতে আছে। প্রথম লেমাটি অনির্দিষ্ট সমাবেশ নিয়ে আলোচনা করে।

প্রমাণের আগে আমরা পূর্ববর্তী উপ-অনুচ্ছেদে করা পশ্চাৎ প্রতিস্থাপনের হিসাব স্মরণ করব।

মনে করি আমরা একটি সিস্টেমকে এই সোপান আকারে এনেছি।

$\begin{array}{ccccccccc}x& +& 2y& -& z& +& 2w& =& 0\\ & & -3y& +& z& & & =& 0\\ & & & & & & -w& =& 0\end{array}$

এরপর আমরা পশ্চাৎ প্রতিস্থাপন করে প্রতিটি চলককে মুক্ত চলক $z$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করি। নিচ থেকে ওপরে কাজ করে পাই প্রথমে $w=0\cdot z$, তারপর $y=(1/3)\cdot z$, এবং উপরের সমীকরণ $x+2((1/3)z)-z+2(0)=0$-এ বসিয়ে পাই $x=(1/3)\cdot z$। সুতরাং, পশ্চাৎ প্রতিস্থাপন নিচের সমীকরণ থেকে শুরু করে মুক্ত চলকগুলোকে পরামিতি হিসেবে নিয়ে সারি-বাই-সারি উপরে উঠে সমাধান সেটের পরামিতিকরণ দেয়। নিচের প্রমাণটি এই প্যাটার্ন অনুসরণ করে।

মন্তব্য: অর্থাৎ, এই প্রমাণটি শুধু পশ্চাৎ প্রতিস্থাপনের হিসাব-রক্ষার একটি যাচাই করে দেখায় যে আমরা কোনো দুর্বোধ্য ক্ষেত্র উপেক্ষা করিনি, যেখানে এই পদ্ধতি ব্যর্থ হতে পারে, যেমন শূন্য দিয়ে ভাগের পরিস্থিতি। তাই এই যুক্তিটি বেশ বিস্তারিত হলেও কোনো নতুন অন্তর্দৃষ্টি দেয় না। তবুও আমরা এটি দুটি কারণে লিখেছি। প্রথমত, ফলাফলটি প্রয়োজন — আমরা যে গণনামূলক প্রক্রিয়া ব্যবহার করি তা প্রতিশ্রুতি অনুযায়ী কাজ করে তা যাচাই করা দরকার। টেমপ্লেট:Anchorদ্বিতীয়ত, পশ্চাৎ প্রতিস্থাপনের সারি-বাই-সারি প্রকৃতি এমন একটি প্রমাণের দিকে নিয়ে যায় যা গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি ব্যবহার করে। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ এবং অ-স্পষ্ট প্রমাণ কৌশল যা আমরা এই বইয়ে বেশ কয়েকবার ব্যবহার করব। এখানে একটি আরোহ যুক্তি করা আমাদের সেই কৌশল শেখার সুযোগ দেয় যেখানে প্রমাণের উপাদান সহজবোধ্য। তাই কৌশলটি অধ্যয়ন করা যায়। যেসব পাঠক আরোহ যুক্তির সাথে অপরিচিত তারা দ্বিতীয় অধ্যায়ে যাওয়ার আগে অবশ্যই এটি এবং পরবর্তী অধ্যায়ের আরোহগুলো আয়ত্ত করুন।

আমরা বলি যে সেট $\{c_1{\overrightarrow{\beta }}_1+\cdots +c_k{\overrightarrow{\beta }}_k|c_1,\dots ,c_k\in ℝ\}$ উৎপন্ন বা স্প্যান করা হয়েছে ভেক্টরের সেট $\{{\overrightarrow{\beta }}_1,\dots ,{\overrightarrow{\beta }}_k\}$ দিয়ে। এই সংজ্ঞায় একটি সতর্কতার বিষয় আছে। যদি কোনো সমজাতীয় সিস্টেমের একমাত্র সমাধান শূন্য ভেক্টর হয়, তবে আমরা বলি সমাধান সেটটি ফাঁকা সেট দ্বারা উৎপন্ন। এটি অন্যান্য সমাধান সেটের প্যাটার্নের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ: উপরের প্রমাণে সমাধান সেটটি $c$-গুলোকে মুক্ত চলক ধরে পাওয়া যায় এবং যদি একটিমাত্র সমাধান থাকে তবে কোনো মুক্ত চলক নেই।

ঘটনাক্রমে, এই প্রমাণটি দেখায়, যেমন উদাহরণ 2.4 এর পর আলোচিত হয়েছে, সমাধান সেটগুলো সবসময় মুক্ত চলক ব্যবহার করে পরামিতিকরণ করা যায়।

অসমজাতীয় সিস্টেমসমূহ

পরবর্তী লেমাটি উপপাদ্য ৩.১ এর প্রমাণ সম্পূর্ণ করবে, সমাধান সেটের বিবরণের নির্দিষ্ট সমাধান অংশ বিবেচনা করে।

টেমপ্লেট:TextBox উপরের দুটি লেমা একত্রে উপপাদ্য ৩.১ প্রতিষ্ঠা করে। আমরা উপপাদ্যটি "$\text{general}=\text{particular}+\text{homogeneous}$" নামে মনে রাখব।

এই সারণিটি সাধারণ সমাধানের আকার নির্ধারণকারী বিষয়গুলো সারসংক্ষেপ করে।

		সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধানের সংখ্যা
		একটি	অসীম
নির্দিষ্ট সমাধান আছে?	হ্যাঁ	অনন্য সমাধান	অসীম সংখ্যক সমাধান
	না	সমাধান নেই	সমাধান নেই

সারণির ওপরের সারির বিষয়টি অপেক্ষাকৃত সরল। যখন আমরা কোনো রৈখিক সিস্টেমে গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করি, ডানপাশের ধ্রুবক উপেক্ষা করে শুধু বামপাশের সহগগুলোর দিকে লক্ষ্য রাখি, তখন হয় প্রতিটি চলক কোনো না কোনো সারির অগ্রণী হয়, নয় কোনো চলক কোনো সারির অগ্রণী হয় না, অর্থাৎ কোনো চলক মুক্ত থাকে। (অবশ্যই, "ডানপাশের ধ্রুবক উপেক্ষা" আনুষ্ঠানিকভাবে সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেম বিবেচনার মাধ্যমে করা হয়। আমরা কেবল একটি পরস্পরবিরোধী সমীকরণের সম্ভাবনা সাময়িকভাবে সরিয়ে রাখছি।)

এই সারণির ওপরের সারির বিষয়টি কার্যকরভাবে বোঝার একটি চমৎকার উপায় হলো সমান সংখ্যক সমীকরণ ও চলকবিশিষ্ট সিস্টেম বিবেচনা করা। এই সিস্টেমের একটি সমাধান থাকবে এবং তা অনন্য হবে ঠিক তখনই যদি এটি সোপান আকারে এমনিতম হয় যেখানে প্রতিটি চলক কোনো সারির অগ্রণী হয়, যা ঘটবে ঠিক তখনই যদি সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের একমাত্র সমাধান থাকে। সুতরাং, সমাধানের অনন্যতার প্রশ্নটি বিশেষভাবে আকর্ষণীয় যখন সিস্টেমে সমীকরণ ও চলকের সংখ্যা সমান হয়।

উপরের সারণিতে দুটি বিষয় আছে। ওপরের সারির বিষয়টি আমরা ইতিমধ্যে বিবেচনা করেছি: কোনো প্রদত্ত রৈখিক সিস্টেম কোন কলামে পড়বে তা আমরা কেবল সিস্টেমের বামপাশ দেখেই বলতে পারি — ডানপাশের ধ্রুবকের এখানে কোনো ভূমিকা নেই। সারণির অন্য বিষয়, নির্দিষ্ট সমাধান আছে কিনা তা নির্ধারণ করা তুলনামূলক কঠিন। এই দুটির দিকে তাকাও

$\begin{array}{ccccc}3x& +& 2y& =& 5\\ 3x& +& 2y& =& 5\end{array}\begin{array}{ccccc}3x& +& 2y& =& 5\\ 3x& +& 2y& =& 4\end{array}$

এদের বামপাশ একই কিন্তু ডানপাশ ভিন্ন। স্পষ্টতই প্রথমটির সমাধান থাকলেও দ্বিতীয়টির নেই, সুতরাং এখানে ডানপাশের ধ্রুবক নির্ধারণ করছে সিস্টেমটির সমাধান আছে কি না। আমরা অনুমান করতে পারি যে রৈখিক সিস্টেমের বামপাশ সমাধানের সংখ্যা নির্ধারণ করে আর ডানপাশ নির্ধারণ করে সমাধানের অস্তিত্ব, কিন্তু এই ধারণা সঠিক নয়। এই দুই সিস্টেমের তুলনা করো

$\begin{array}{ccccc}3x& +& 2y& =& 5\\ 4x& +& 2y& =& 4\end{array}\begin{array}{ccccc}3x& +& 2y& =& 5\\ 3x& +& 2y& =& 4\end{array}$

এদের ডানপাশ একই কিন্তু বামপাশ ভিন্ন। প্রথমটির সমাধান আছে, দ্বিতীয়টির নেই। সুতরাং একটি সিস্টেমের ডানপাশের ধ্রুবক এককভাবে সমাধানের অস্তিত্ব নির্ধারণ করে না; বরং তা বাম ও ডানপাশের মধ্যকার কোনো মিথস্ক্রিয়ার ওপর নির্ভর করে।

এই মিথস্ক্রিয়া সম্পর্কে কিছু অন্তর্দৃষ্টি পেতে, একটি সহগকে পরামিতি $c$ রেখে এই সিস্টেমটি বিবেচনা করি।

$\begin{array}{ccccccc}x& +& 2y& +& 3z& =& 1\\ x& +& y& +& z& =& 1\\ cx& +& 3y& +& 4z& =& 0\end{array}$

যদি $c=2$ হয়, এই সিস্টেমের কোনো সমাধান নেই কারণ বামপাশের তৃতীয় সারিটি প্রথম দুটির সমষ্টি, অথচ ডানপাশ তা নয়। যদি $c\ne 2$ হয় তবে এই সিস্টেমের অনন্য সমাধান আছে ($c=1$ দিয়ে চেষ্টা করো)। কোনো সিস্টেমের সমাধান থাকার জন্য, যদি বামপাশের সহগ ম্যাট্রিক্সের কোনো সারি অন্য সারিগুলোর রৈখিক সমাবেশ হয়, তাহলে ডানপাশের সেই সারির ধ্রুবকটিও ঐ একই সারিগুলোর ধ্রুবকের সমাবেশ হতে হবে।

রৈখিক সমাবেশ নিয়ে আলোচনা করলে এই মিথস্ক্রিয়া সম্পর্কে আরও স্পষ্ট ধারণা পাওয়া যাবে। এই অধ্যায়ের বাকি অংশে আমরা 'গাউসের পদ্ধতি' নিয়ে আলোচনা শেষ করব। এরপর দ্বিতীয় অধ্যায়ে আমাদের মূল আলোচনার বিষয় হবে এই রৈখিক সমাবেশ।

অনুশীলনী

/সমাধান/