লজিক গেট/অর্ধবিয়োগকারী

অর্ধযোগকারী হলো সবচেয়ে সহজ সংমিশ্রণ সার্কিটগুলোর একটি যা দুটি একক বিটের বাইনারি সংখ্যা যোগ করতে পারে। এটি দুটি আউটপুট দেয়, যোগফল এবং ক্যারি। অর্ধযোগকারীকে ডিজিটাল গণনার সবচেয়ে মৌলিক সার্কিট বলা যায়, কারণ এর মধ্যেই লুকিয়ে আছে কম্পিউটারের গণনার মূল নীতি।

তবে অর্ধযোগকারীর একটি সীমাবদ্ধতা আছে। এটি কেবল দুটি বিট যোগ করতে পারে, পূর্ববর্তী ধাপ থেকে আসা ক্যারিকে ইনপুট হিসেবে নিতে পারে না। এই সমস্যার সমাধান করে পূর্ণযোগকারী।

অর্ধযোগকারী কেন দরকার?

কম্পিউটার সব তথ্য বাইনারি সংখ্যায় সংরক্ষণ করে এবং বাইনারি সংখ্যার উপর গাণিতিক কাজ করে। যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ সবকিছুর ভিত্তি হলো যোগ। এমনকি গুণ হলো বারবার যোগ এবং বিয়োগ হলো পরিপূরক সংখ্যার যোগ। তাই বাইনারি যোগ করতে পারা একটি সার্কিটই যথেষ্ট পুরো গণনার জগৎ তৈরি করতে।

অর্ধযোগকারী হলো সেই যাত্রার প্রথম ধাপ। এটি সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রটি সমাধান করে, দুটি একক বিটের সংখ্যা যোগ। এই সহজ সার্কিটটি বুঝলেই পূর্ণযোগকারী, বহু-বিট যোগকারী এবং শেষ পর্যন্ত সম্পূর্ণ গাণিতিক একক বোঝা সহজ হয়।

বাস্তব জীবনের সাথে তুলনা

অর্ধযোগকারীর ধারণা আমাদের দৈনন্দিন যোগের সাথে গভীরভাবে মিলে যায়।

ধরো তুমি হাতে হাতে দুটি এক অঙ্কের সংখ্যা যোগ করছ। যেমন $\text{৭}+\text{৮}=\text{১৫}$। এখানে যোগফলের একক স্থানে $\text{৫}$ এবং দশক স্থানে $\text{১}$ উঠে যায়। এই উঠে যাওয়া সংখ্যাটিকেই ক্যারি বলে। বাইনারিতে একই ঘটনা ঘটে, শুধু সংখ্যা দুটি হলো $\text{০}$ বা $\text{১}$।

আরেকটি সহজ উদাহরণ ভাবো। ধরো তোমার কাছে একটি পিগি ব্যাংক আছে যেখানে মাত্র দুটি স্লট। একটি স্লটে একটা মুদ্রা আছে বা নেই। দুটি স্লট যোগ করলে তুমি হয় ০টি, ১টি বা ২টি মুদ্রা পাবে। কিন্তু পিগি ব্যাংকে মাত্র একটিই মুদ্রা রাখার জায়গা আছে। তাই যদি দুটোই ভরা থাকে, একটি মুদ্রা উপচে পড়ে যায়। এই উপচে পড়া মুদ্রাটিই ক্যারি।

ক্রিকেটে রান গণনার কথাও ভাবা যায়। একটি ওভারে সর্বোচ্চ ৬ রান হতে পারে। কিন্তু বোনাস রান, নো-বল ইত্যাদি হিসাব আলাদা রাখতে হয়। অর্ধযোগকারীও ঠিক এভাবে মূল যোগফল এবং উপচে পড়া ক্যারি আলাদা আউটপুটে দেয়।

বাইনারি যোগের নিয়ম

দুটি বিট যোগ করার চারটি সম্ভাব্য অবস্থা আছে। এই চারটি অবস্থাই মিলে অর্ধযোগকারীর সম্পূর্ণ আচরণ বর্ণনা করে।

দুটি বিটের বাইনারি যোগ

$A$	$B$	যোগফল	ব্যাখ্যা
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}+\text{০}=\text{০}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}+\text{১}=\text{১}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}+\text{০}=\text{১}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১০}$	$\text{১}+\text{১}=\text{২}=\text{১০}$ (বাইনারিতে)

শেষ সারিতে লক্ষ করো। $\text{১}+\text{১}=\text{১০}$ বাইনারিতে। এর মানে যোগফলের বিট $\text{০}$ এবং একটি ক্যারি $\text{১}$ পরের ঘরে যায়। তাই অর্ধযোগকারীতে দুটি আউটপুট লাগে।

প্রথম তিনটি ক্ষেত্রে ক্যারি শূন্য, কারণ যোগফল এক বিটে ধরে যায়। কিন্তু চতুর্থ ক্ষেত্রে যোগফল দুই বিটের, তাই আলাদা ক্যারি আউটপুট দরকার হয়।

বুলিয়ান রাশি

দুটি ইনপুট $A$ ও $B$ থেকে দুটি আউটপুট পাওয়া যায়।

যোগফল

$S=A\oplus B$

ক্যারি

$C=A\cdot B$

এই দুটি রাশি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এবং এদের পেছনে সুন্দর যুক্তি আছে।

যোগফলের রাশি কেন এক্সক্লুসিভ অর?

এক্সক্লুসিভ অর গেট তখনই $\text{১}$ দেয় যখন দুটি ইনপুটের মধ্যে ঠিক একটি $\text{১}$ হয়। বাইনারি যোগে যোগফলের বিট ঠিক একই আচরণ করে। যখন $A=\text{০},B=\text{১}$ বা $A=\text{১},B=\text{০}$ হয়, যোগফল $\text{১}$। যখন উভয়ই শূন্য বা উভয়ই এক, যোগফল $\text{০}$। এটি হুবহু এক্সক্লুসিভ অর গেটের আচরণ।

ক্যারির রাশি কেন অ্যান্ড গেট?

অ্যান্ড গেট তখনই $\text{১}$ দেয় যখন উভয় ইনপুটই $\text{১}$ হয়। বাইনারি যোগে ক্যারি তৈরি হয় শুধুমাত্র তখনই যখন $A=\text{১}$ এবং $B=\text{১}$। কারণ একমাত্র তখনই যোগফল দুই বিটে উপচে পড়ে। এটি হুবহু অ্যান্ড গেটের আচরণ।

এই দুটি গেটের সমন্বয়ই অর্ধযোগকারীর পুরো কাজ সম্পন্ন করে।

সত্যক সারণী

অর্ধযোগকারীর সত্যক সারণী

$A$	$B$	যোগফল $S=A\oplus B$	ক্যারি $C=A\cdot B$	বাইনারি যোগ
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}+\text{০}=\text{০০}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}+\text{১}=\text{০১}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}+\text{০}=\text{০১}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}+\text{১}=\text{১০}$

সারণীতে লক্ষ করো শেষ কলামে ক্যারি ও যোগফল একসাথে দুই বিটের ফলাফল দেখাচ্ছে। ক্যারি বিটটি উচ্চ বিট এবং যোগফল বিটটি নিম্ন বিট। শুধুমাত্র শেষ সারিতেই ক্যারি $\text{১}$ হয়েছে, কারণ শুধু তখনই উভয় ইনপুট $\text{১}$।

লজিক সার্কিট

অর্ধযোগকারী সার্কিট তৈরিতে মাত্র দুটি গেট লাগে।

অর্ধযোগকারীর লজিক সার্কিটে ব্যবহৃত গেট

আউটপুট	ব্যবহৃত গেট	বুলিয়ান রাশি
যোগফল $S$	এক্সক্লুসিভ অর গেট	$S=A\oplus B$
ক্যারি $C$	অ্যান্ড গেট	$C=A\cdot B$

উভয় গেটে একই দুটি ইনপুট $A$ ও $B$ দেওয়া হয়। এক্সক্লুসিভ অর গেটের আউটপুট যোগফল এবং অ্যান্ড গেটের আউটপুট ক্যারি। সার্কিটটি অত্যন্ত সহজ কারণ দুটি গেট সমান্তরালভাবে কাজ করে, একটির আউটপুট অপরটির ইনপুটে যায় না।

বিভিন্ন গেট দিয়ে অর্ধযোগকারী

নান্ড গেট দিয়ে অর্ধযোগকারী

নান্ড গেট একটি সার্বজনীন গেট। শুধুমাত্র নান্ড গেট ব্যবহার করেও সম্পূর্ণ অর্ধযোগকারী তৈরি করা যায়। এটি বাস্তব সার্কিট নকশায় গুরুত্বপূর্ণ কারণ একই ধরনের গেট ব্যবহার করলে উৎপাদন সহজ হয়।

প্রথমে এক্সক্লুসিভ অর গেটকে নান্ড গেট দিয়ে প্রকাশ করলে:

$S=A\oplus B=\overline{A\cdot \stackrel{‾}{AB}}\cdot \overline{B\cdot \stackrel{‾}{AB}}$

এবং ক্যারির জন্য:

$C=AB=\overline{\stackrel{‾}{AB}}$

মোট চারটি নান্ড গেট দিয়ে একটি সম্পূর্ণ অর্ধযোগকারী তৈরি করা যায়। একটি নান্ড গেট $\overline{AB}$ তৈরি করে যা একাধিক জায়গায় ব্যবহৃত হয়।

নান্ড গেট দিয়ে অর্ধযোগকারী

গেট নম্বর	ইনপুট	আউটপুট	কাজ
গেট ১	$A,B$	$\overline{AB}$	ভাগ করা পদ
গেট ২	$A,\overline{AB}$	$\overline{A\cdot \stackrel{‾}{AB}}$	যোগফলের অংশ
গেট ৩	$B,\overline{AB}$	$\overline{B\cdot \stackrel{‾}{AB}}$	যোগফলের অংশ
গেট ৪	গেট ২ ও গেট ৩ এর আউটপুট	$S$	যোগফল

ক্যারির জন্য গেট ১-এর আউটপুটকে আবার নান্ড গেটে দিলে পাওয়া যায় $C=\overline{\stackrel{‾}{AB}}=AB$।

নর গেট দিয়ে অর্ধযোগকারী

নর গেটও একটি সার্বজনীন গেট। নর গেট দিয়ে অর্ধযোগকারী তৈরিতে সামান্য বেশি গেট লাগে, তবে ধারণাটি একই। নর গেট দিয়ে তৈরি সার্কিটে অ্যান্ড গেট ও এক্সক্লুসিভ অর গেট উভয়ই নর গেটের সমন্বয়ে তৈরি করা হয়।

অর্ধযোগকারীর বিস্তারিত কাজের প্রক্রিয়া

প্রথম ক্ষেত্র: উভয় ইনপুট শূন্য

$A=\text{০},B=\text{০}$

এক্সক্লুসিভ অর গেট: দুটি ইনপুট সমান, তাই আউটপুট $\text{০}$। অ্যান্ড গেট: উভয় ইনপুট শূন্য, তাই আউটপুট $\text{০}$।

যোগফল $=\text{০}$, ক্যারি $=\text{০}$।

এটি স্বাভাবিক। শূন্য আর শূন্য যোগে শূন্যই হয়।

দ্বিতীয় ক্ষেত্র: প্রথম ইনপুট শূন্য, দ্বিতীয় এক

$A=\text{০},B=\text{১}$

এক্সক্লুসিভ অর গেট: দুটি ইনপুট আলাদা, তাই আউটপুট $\text{১}$। অ্যান্ড গেট: একটি ইনপুট শূন্য, তাই আউটপুট $\text{০}$।

যোগফল $=\text{১}$, ক্যারি $=\text{০}$।

$\text{০}+\text{১}=\text{১}$। ফলাফল এক বিটে ধরে যায়, ক্যারি নেই।

তৃতীয় ক্ষেত্র: প্রথম ইনপুট এক, দ্বিতীয় শূন্য

$A=\text{১},B=\text{০}$

এক্সক্লুসিভ অর গেট: দুটি ইনপুট আলাদা, তাই আউটপুট $\text{১}$। অ্যান্ড গেট: একটি ইনপুট শূন্য, তাই আউটপুট $\text{০}$।

যোগফল $=\text{১}$, ক্যারি $=\text{০}$।

$\text{১}+\text{০}=\text{১}$। আবারও এক বিটে ধরে গেছে।

চতুর্থ ক্ষেত্র: উভয় ইনপুট এক

$A=\text{১},B=\text{১}$

এক্সক্লুসিভ অর গেট: দুটি ইনপুট সমান, তাই আউটপুট $\text{০}$। অ্যান্ড গেট: উভয় ইনপুট এক, তাই আউটপুট $\text{১}$।

যোগফল $=\text{০}$, ক্যারি $=\text{১}$।

$\text{১}+\text{১}=\text{১০}$ বাইনারিতে। নিম্ন বিট শূন্য এবং উপরের ঘরে এক উঠে গেছে।

অর্ধযোগকারীর সীমাবদ্ধতা

অর্ধযোগকারী কেবল দুটি ইনপুট বিট যোগ করতে পারে। পূর্ববর্তী ধাপ থেকে আসা ক্যারি ইনপুট নেওয়ার কোনো ব্যবস্থা নেই। তাই একাধিক বিটের সংখ্যা যোগ করতে গেলে সমস্যা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, $\text{১১}+\text{০১}$ (বাইনারি) যোগ করতে গেলে:

• একক স্থানে: $\text{১}+\text{১}=\text{১০}$, যোগফল $\text{০}$, ক্যারি $\text{১}$
• দ্বিতীয় স্থানে: $\text{১}+\text{০}+\text{১}$ (ক্যারি) = তিনটি সংখ্যা যোগ, কিন্তু অর্ধযোগকারীতে কেবল দুটি ইনপুট আছে

এই সমস্যার সমাধান করে পূর্ণযোগকারী, যেখানে তৃতীয় একটি ইনপুট হিসেবে ক্যারি-ইন নেওয়া যায়।

কেন এই সীমাবদ্ধতা গুরুত্বপূর্ণ?

বাস্তব কম্পিউটারে ৩২ বিট বা ৬৪ বিটের সংখ্যা যোগ করতে হয়। সর্বনিম্ন বিট জোড়া ছাড়া বাকি সব বিট জোড়ায় তিনটি ইনপুট থাকে: দুটি সংখ্যার বিট এবং আগের ধাপ থেকে আসা ক্যারি। তাই অর্ধযোগকারী কেবল সর্বনিম্ন বিটের জায়গায় ব্যবহার করা যায়। বাকি সব জায়গায় পূর্ণযোগকারী লাগে।

অর্ধযোগকারী ও পূর্ণযোগকারীর তুলনা

অর্ধযোগকারী ও পূর্ণযোগকারীর তুলনা

বৈশিষ্ট্য	অর্ধযোগকারী	পূর্ণযোগকারী
ইনপুটের সংখ্যা	$\text{২}$ ($A$, $B$)	$\text{৩}$ ($A$, $B$, ক্যারি-ইন)
আউটপুটের সংখ্যা	$\text{২}$ (যোগফল, ক্যারি)	$\text{২}$ (যোগফল, ক্যারি-আউট)
ক্যারি-ইন	নেই	আছে
প্রয়োজনীয় গেট	এক্সক্লুসিভ অর গেট + অ্যান্ড গেট	দুটি অর্ধযোগকারী + অর গেট
বহু-বিট যোগে ব্যবহার	কেবল সর্বনিম্ন বিটে	যেকোনো বিটে
জটিলতা	সহজ	মধ্যম
গেটের মোট সংখ্যা	২টি	৫টি

অর্ধযোগকারী ও অর্ধবিয়োগকারীর তুলনা

অর্ধযোগকারী এবং অর্ধবিয়োগকারী একে অপরের খুব কাছের। দুটির গঠন প্রায় একই, তবে দ্বিতীয় আউটপুটে পার্থক্য আছে।

অর্ধযোগকারী ও অর্ধবিয়োগকারীর তুলনা

বৈশিষ্ট্য	অর্ধযোগকারী	অর্ধবিয়োগকারী
ক্রিয়া	বাইনারি যোগ	বাইনারি বিয়োগ
ইনপুট	$A$, $B$	$A$, $B$
প্রথম আউটপুট	যোগফল $S=A\oplus B$	বিয়োগফল $D=A\oplus B$
দ্বিতীয় আউটপুট	ক্যারি $C=A\cdot B$	ধার $B_o=\overline{A}\cdot B$
প্রয়োজনীয় গেট	এক্সক্লুসিভ অর গেট + অ্যান্ড গেট	এক্সক্লুসিভ অর গেট + নট গেট + অ্যান্ড গেট
গেটের মোট সংখ্যা	২টি	৩টি

উভয় ক্ষেত্রেই প্রথম আউটপুট একই এক্সক্লুসিভ অর গেট দিয়ে তৈরি হয়। পার্থক্য কেবল দ্বিতীয় আউটপুটে। যোগকারীতে অ্যান্ড গেট এবং বিয়োগকারীতে নট-অ্যান্ড সংযোজন।

এই পার্থক্যের কারণ হলো: যোগে ক্যারি তৈরি হয় যখন উভয় ইনপুটই এক, কিন্তু বিয়োগে ধার তৈরি হয় যখন $A$ শূন্য এবং $B$ এক। তাই বিয়োগে $A$-কে আগে উল্টাতে হয়।

বহু-বিট যোগকারীতে অর্ধযোগকারীর ভূমিকা

দুটি বহু-বিট সংখ্যা যোগ করতে একটি অর্ধযোগকারী ও একাধিক পূর্ণযোগকারীর প্রয়োজন হয়। সর্বনিম্ন বিট অর্থাৎ একক স্থানে অর্ধযোগকারী ব্যবহার করা হয় কারণ সেখানে কোনো ক্যারি-ইন নেই। বাকি সব বিটে পূর্ণযোগকারী ব্যবহার করা হয়।

চার-বিট যোগকারী

দুটি চার-বিট সংখ্যা $A_3{A}_2{A}_1{A}_0$ এবং $B_3{B}_2{B}_1{B}_0$ যোগ করতে:

চার-বিট যোগকারীর কাঠামো

বিটের অবস্থান	ব্যবহৃত সার্কিট	ইনপুট	আউটপুট
সর্বনিম্ন বিট ($A_0,B_0$)	অর্ধযোগকারী	$A_0,B_0$	$S_0$, ক্যারি $C_0$
দ্বিতীয় বিট ($A_1,B_1$)	পূর্ণযোগকারী	$A_1,B_1,C_0$	$S_1$, ক্যারি $C_1$
তৃতীয় বিট ($A_2,B_2$)	পূর্ণযোগকারী	$A_2,B_2,C_1$	$S_2$, ক্যারি $C_2$
সর্বোচ্চ বিট ($A_3,B_3$)	পূর্ণযোগকারী	$A_3,B_3,C_2$	$S_3$, ক্যারি $C_3$

এখানে $C_3$ হলো চূড়ান্ত ক্যারি-আউট যা পঞ্চম বিটের মান দেয়। যদি এটি $\text{১}$ হয়, তাহলে যোগফল পাঁচ বিটের।

আট-বিট যোগকারী

একইভাবে আট-বিট যোগকারীতে একটি অর্ধযোগকারী এবং সাতটি পূর্ণযোগকারী ব্যবহার হয়। ৩২-বিট যোগকারীতে একটি অর্ধযোগকারী এবং ৩১টি পূর্ণযোগকারী লাগে।

অর্ধযোগকারীর বিভিন্ন বাস্তবায়ন

টিটিএল লজিক পরিবার

বাস্তব সার্কিটে অর্ধযোগকারী টিটিএল বা সিমোস লজিক পরিবারের গেট ব্যবহার করে তৈরি হয়। টিটিএল পরিবারে সাত-চারটি সিরিজের চিপ (যেমন ৭৪৮৬ এক্সক্লুসিভ অর গেট এবং ৭৪০৮ অ্যান্ড গেট) ব্যবহার করে অর্ধযোগকারী তৈরি করা যায়।

সিমোস লজিক পরিবার

আধুনিক ডিজিটাল সার্কিটে সিমোস প্রযুক্তি ব্যবহার হয়। সিমোস গেটে বিদ্যুৎ খরচ অনেক কম এবং গতি অনেক বেশি। প্রসেসরের ভেতরে অর্ধযোগকারীর বাস্তবায়ন সিমোস প্রযুক্তিতেই হয়।

প্রোগ্রামযোগ্য লজিক সার্কিটে

প্রোগ্রামযোগ্য লজিক সার্কিটে অর্ধযোগকারীকে হার্ডওয়্যার বিবরণী ভাষায় লেখা যায়। একটি সহজ বিবরণ হবে এরকম:

যোগফল হবে ইনপুট এ এবং ইনপুট বি-এর এক্সক্লুসিভ অর এবং ক্যারি হবে ইনপুট এ এবং ইনপুট বি-এর অ্যান্ড।

এই ধরনের বিবরণ থেকে স্বয়ংক্রিয়ভাবে লজিক গেট তৈরি হয়।

অর্ধযোগকারীর প্রসারণ বিলম্ব

বাস্তব সার্কিটে প্রতিটি গেটে সংকেত পৌঁছাতে ও প্রক্রিয়া করতে কিছু সময় লাগে। এটিকে প্রসারণ বিলম্ব বলে।

অর্ধযোগকারীতে দুটি পথ আছে।

যোগফলের পথ: ইনপুট থেকে এক্সক্লুসিভ অর গেটের আউটপুট পর্যন্ত। সময় হলো একটি এক্সক্লুসিভ অর গেটের বিলম্ব।

ক্যারির পথ: ইনপুট থেকে অ্যান্ড গেটের আউটপুট পর্যন্ত। সময় হলো একটি অ্যান্ড গেটের বিলম্ব।

সাধারণত এক্সক্লুসিভ অর গেটের বিলম্ব অ্যান্ড গেটের চেয়ে বেশি, তাই যোগফলের পথ বেশি সময় নেয়।

বহু-বিট যোগকারীতে এই বিলম্ব গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে। প্রতিটি পূর্ণযোগকারীকে আগের ক্যারির জন্য অপেক্ষা করতে হয়, ফলে মোট বিলম্ব বাড়তে থাকে। এই সমস্যা সমাধানে বিভিন্ন দ্রুত যোগকারী কৌশল তৈরি হয়েছে।

কার্নো মানচিত্র দিয়ে যাচাই

অর্ধযোগকারীর বুলিয়ান রাশি কার্নো মানচিত্র দিয়ে যাচাই করা যায়।

যোগফলের কার্নো মানচিত্র

যোগফলের কার্নো মানচিত্র

$A\mathrm{\setminus }B$	$\text{০}$	$\text{১}$
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$

এই মানচিত্রে কোনো সংলগ্ন দল তৈরি করা যায় না। তাই রাশি সরলীকৃত হয় না এবং এটি সরাসরি $A\oplus B$।

ক্যারির কার্নো মানচিত্র

ক্যারির কার্নো মানচিত্র

$A\mathrm{\setminus }B$	$\text{০}$	$\text{১}$
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$

এখানে মাত্র একটি ঘরে $\text{১}$ আছে ($AB=\text{১১}$)। এটি একাই একটি দল। তাই রাশি হলো $A\cdot B$। এটি ইতিমধ্যে সরলতম আকারে আছে।

অর্ধযোগকারীর ব্যবহার

বহু-বিট যোগকারীর ভিত্তি

যেকোনো বহু-বিট যোগকারীর সর্বনিম্ন বিটে অর্ধযোগকারী ব্যবহার হয়। ৮, ১৬, ৩২ বা ৬৪ বিটের যোগকারী সবই এই মূলনীতি থেকে শুরু হয়।

গণনা সার্কিটে

সহজ গণনাকারী সার্কিটে অর্ধযোগকারী ব্যবহার হয়। যখন কেবল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যায় এক যোগ করতে হয় এবং ক্যারি সামলানো দরকার নেই, তখন অর্ধযোগকারীই যথেষ্ট।

প্যারিটি সার্কিটে

ত্রুটি শনাক্তকরণে প্যারিটি বিট ব্যবহার হয়। একাধিক বিটের প্যারিটি হিসাব করতে এক্সক্লুসিভ অর গেটের শৃঙ্খল ব্যবহার হয়, যা অর্ধযোগকারীর যোগফল অংশের বিস্তার।

অ্যারিথমেটিক লজিক ইউনিটে

কম্পিউটারের কেন্দ্রীয় প্রক্রিয়াকরণ অংশের গাণিতিক লজিক ইউনিটে যোগ, বিয়োগ সহ সমস্ত গাণিতিক অপারেশন হয়। এই ইউনিটের ভিত্তিতে আছে যোগকারী সার্কিট এবং তার সবচেয়ে মৌলিক রূপ হলো অর্ধযোগকারী।

ডিজিটাল সংকেত প্রক্রিয়াকরণে

ডিজিটাল সংকেত প্রক্রিয়াকরণে নমুনা যোগ করতে যোগকারী সার্কিট ব্যবহার হয়। অডিও, ভিডিও প্রক্রিয়াকরণ সহ অনেক কাজেই যোগের প্রয়োজন হয়।

উদাহরণ

উদাহরণ ১: সরল যোগ

$A=\text{১},B=\text{১}$ হলে অর্ধযোগকারীর আউটপুট নির্ণয় করো।

$S=A\oplus B=\text{১}\oplus \text{১}=\text{০}$

$C=A\cdot B=\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$

ফলাফল: যোগফল $=\text{০}$, ক্যারি $=\text{১}$। বাইনারিতে: $\text{১}+\text{১}=\text{১০}$ ✓

উদাহরণ ২: শূন্য ও এক

$A=\text{০},B=\text{১}$ হলে অর্ধযোগকারীর আউটপুট নির্ণয় করো।

$S=\text{০}\oplus \text{১}=\text{১}$

$C=\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}$

ফলাফল: যোগফল $=\text{১}$, ক্যারি $=\text{০}$। বাইনারিতে: $\text{০}+\text{১}=\text{০১}$ ✓

উদাহরণ ৩: উভয় শূন্য

$A=\text{০},B=\text{০}$ হলে অর্ধযোগকারীর আউটপুট নির্ণয় করো।

$S=\text{০}\oplus \text{০}=\text{০}$

$C=\text{০}\cdot \text{০}=\text{০}$

ফলাফল: যোগফল $=\text{০}$, ক্যারি $=\text{০}$। বাইনারিতে: $\text{০}+\text{০}=\text{০০}$ ✓

উদাহরণ ৪: দুই বিটের যোগ যাচাই

${\text{(১১)}}_{\text{২}}+{\text{(০১)}}_{\text{২}}$ এর সর্বনিম্ন বিটে অর্ধযোগকারীর আউটপুট নির্ণয় করো।

একক স্থানে $A=\text{১},B=\text{১}$:

$S=\text{১}\oplus \text{১}=\text{০}$

$C=\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$

সর্বনিম্ন বিটের যোগফল $\text{০}$ এবং দ্বিতীয় বিটে ক্যারি $\text{১}$ যাবে।

দ্বিতীয় বিটে এই ক্যারি সহ যোগ করতে পূর্ণযোগকারীর প্রয়োজন হবে।

উদাহরণ ৫: নান্ড গেট দিয়ে যাচাই

নান্ড গেট দিয়ে তৈরি অর্ধযোগকারীতে $A=\text{১},B=\text{০}$ হলে আউটপুট নির্ণয় করো।

গেট ১: $\overline{AB}=\overline{\text{১}\cdot \text{০}}=\overline{\text{০}}=\text{১}$

গেট ২: $\overline{A\cdot \stackrel{‾}{AB}}=\overline{\text{১}\cdot \text{১}}=\overline{\text{১}}=\text{০}$

গেট ৩: $\overline{B\cdot \stackrel{‾}{AB}}=\overline{\text{০}\cdot \text{১}}=\overline{\text{০}}=\text{১}$

গেট ৪ (যোগফল): $S=\overline{\text{০}\cdot \text{১}}=\overline{\text{০}}=\text{১}$

ক্যারি: $C=\overline{\stackrel{‾}{AB}}=\overline{\text{১}}=\text{০}$

ফলাফল: $S=\text{১}$, $C=\text{০}$। বাইনারিতে: $\text{১}+\text{০}=\text{০১}$ ✓

অর্ধযোগকারীর সুবিধা ও সীমাবদ্ধতা

সুবিধা

• সার্কিট অত্যন্ত সহজ, মাত্র দুটি গেট দরকার
• বোঝা ও ব্যাখ্যা করা সহজ
• বহু-বিট যোগকারীর সর্বনিম্ন বিটে সরাসরি ব্যবহার করা যায়
• নির্মাণ খরচ কম
• প্রসারণ বিলম্ব কম কারণ গেটের সংখ্যা কম

সীমাবদ্ধতা

• কেবল দুটি এক-বিট সংখ্যা যোগ করতে পারে
• ক্যারি-ইন নিতে পারে না
• বহু-বিট যোগকারীর মধ্যবর্তী বিটে সরাসরি ব্যবহার করা যায় না
• বাস্তব গণনায় একা ব্যবহারের সুযোগ সীমিত

অনুশীলনী

1. $A=\text{০},B=\text{০}$ হলে অর্ধযোগকারীর $S$ ও $C$ এর মান কত?
2. অর্ধযোগকারীতে কখন ক্যারি আউটপুট $\text{১}$ হয়?
3. $A=\text{১},B=\text{০}$ হলে $S$ ও $C$ নির্ণয় করো এবং বাইনারি যোগ যাচাই করো।
4. এক্সক্লুসিভ অর গেটের পরিবর্তে কোন গেট দিয়ে যোগফল বিট তৈরি করলে ভুল হবে এবং কেন?
5. দুটি অর্ধযোগকারী দিয়ে কি একটি পূর্ণযোগকারী তৈরি করা যায়? কীভাবে?
6. অর্ধযোগকারীর যোগফল আউটপুটের বুলিয়ান রাশি লেখো এবং কার্নো মানচিত্রে দেখাও।
7. নান্ড গেট দিয়ে অর্ধযোগকারী তৈরিতে মোট কতটি নান্ড গেট লাগে?
8. চার-বিট যোগকারীতে অর্ধযোগকারী কোন অবস্থানে ব্যবহার হয় এবং কেন?

উত্তর:

1. $S=\text{০}\oplus \text{০}=\text{০}$, $C=\text{০}\cdot \text{০}=\text{০}$
2. কেবল যখন উভয় ইনপুট $A=\text{১}$ এবং $B=\text{১}$
3. $S=\text{১}\oplus \text{০}=\text{১}$, $C=\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}$; বাইনারিতে $\text{১}+\text{০}=\text{০১}$ ✓
4. অ্যান্ড গেট দিয়ে যোগফল তৈরি করলে ভুল হবে, কারণ $\text{০}+\text{১}=\text{০১}$ হওয়া উচিত কিন্তু অ্যান্ড গেটে $\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}$ পাওয়া যাবে যা সঠিক নয়
5. হ্যাঁ, দুটি অর্ধযোগকারী ও একটি অর গেট দিয়ে একটি পূর্ণযোগকারী তৈরি করা যায়। প্রথম অর্ধযোগকারী $A$ ও $B$ যোগ করে, দ্বিতীয়টি সেই যোগফলের সাথে ক্যারি-ইন যোগ করে এবং অর গেট দুটি অর্ধযোগকারীর ক্যারি একত্রিত করে চূড়ান্ত ক্যারি-আউট দেয়।
6. $S=A\oplus B$; কার্নো মানচিত্রে কোণাকোণি দুটি ঘরে $\text{১}$ থাকে এবং কোনো দল তৈরি সম্ভব নয়, তাই রাশি সরলীকৃত হয় না
7. মোট ৪টি নান্ড গেট, একটি মধ্যবর্তী ফলাফল তৈরি করে এবং বাকি তিনটি যোগফল ও ক্যারি তৈরি করে
8. সর্বনিম্ন বিটে অর্থাৎ একক স্থানে অর্ধযোগকারী ব্যবহার হয়, কারণ সেই অবস্থানে কোনো ক্যারি-ইন নেই এবং কেবল দুটি বিট যোগ করলেই চলে

[[টেমপ্লেট:BOOKCATEGORY]]