এই কোয়ান্টাম জগৎ/তাৎপর্য ও প্রয়োগ/কীভাবে অস্পষ্ট অবস্থান আরও অস্পষ্ট হয়

কীভাবে অস্পষ্ট অবস্থান আরও অস্পষ্ট হয়

আমরা সেই হারটি গণনা করব যে হারে অবস্থানের সম্ভাব্যতা বিন্যাসের অস্পষ্টতা বৃদ্ধি পায় (যা সংশ্লিষ্ট ভরবেগের অস্পষ্টতার ফলস্বরূপ ঘটে) যখন কোনো ভারসাম্য রক্ষাকারী আকর্ষণ বল (যেমন পারমাণবিক হাইড্রোজেনে নিউক্লিয়াস এবং ইলেকট্রনের মধ্যে থাকে) উপস্থিত থাকে না।

হিসাবের সুবিধার জন্য, আমরা একটি গাউসীয় ফাংশন বেছে নিই

$\psi (0,x)=N{e}^{-x^2/2{\sigma }^2},$

যার একটি ঘণ্টা আকৃতির লেখচিত্র রয়েছে। এটি একটি অবস্থানের সম্ভাব্যতা বিন্যাস সংজ্ঞায়িত করে

$|\psi (0,x){|}^2=N^2{e}^{-x^2/{\sigma }^2}.$

যদি আমরা এই বিন্যাসটিকে এমনভাবে স্বাভাবিকীকরণ করি যাতে $\int dx|\psi (0,x){|}^2=1,$ হয়, তবে $N^2=1/\sigma \sqrt{\pi },$ হবে এবং

$|\psi (0,x){|}^2=e^{-x^2/{\sigma }^2}/\sigma \sqrt{\pi }.$

আমরা আরও পাই যে

• $\mathrm{\Delta }x(0)=\sigma /\sqrt{2},$
• $\psi (0,x)$-এর ফুরিয়ে রূপান্তর হলো $\bar{\psi }(0,k)=\sqrt{\sigma /\sqrt{\pi }}{e}^{-{\sigma }^2{k}^2/2},$
• এটি ভরবেগের সম্ভাব্যতা বিন্যাস $|\bar{\psi }(0,k){|}^2=\sigma e^{-{\sigma }^2{k}^2}/\sqrt{\pi },$-কে সংজ্ঞায়িত করে
• এবং $\mathrm{\Delta }k(0)=1/\sigma \sqrt{2}.$

সুতরাং $\psi (0,x)$-এর সাথে যুক্ত একটি কণার অবস্থান এবং ভরবেগের অস্পষ্টতা হলো "অনিশ্চয়তা" সম্পর্ক দ্বারা অনুমোদিত সর্বনিম্ন মান: $\mathrm{\Delta }x(0)\mathrm{\Delta }k(0)=1/2.$

এখন স্মরণ করুন যে

$\bar{\psi }(t,k)=\varphi (0,k)e^{-i\omega t},$

যেখানে $\omega =\hslash k^2/2m.$ এর ফুরিয়ে রূপান্তরটি হলো

$\psi (t,x)=\sqrt{\frac{\sigma }{\sqrt{\pi }}}\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+i(\hslash /m)t}}{e}^{-x^2/2[{\sigma }^2+i(\hslash /m)t]},$

এবং এটি অবস্থানের সম্ভাব্যতা বিন্যাস সংজ্ঞায়িত করে

$|\psi (t,x){|}^2=\frac{1}{\sqrt{\pi }\sqrt{{\sigma }^2+({\hslash }^2/m^2{\sigma }^2)t^2}}{e}^{-x^2/[{\sigma }^2+({\hslash }^2/m^2{\sigma }^2)t^2]}.$

$|\psi (0,x){|}^2$-এর সাথে তুলনা করলে দেখা যায় যে $\sigma (t)=\sqrt{{\sigma }^2+({\hslash }^2/m^2{\sigma }^2)t^2}.$ অতএব,

$\mathrm{\Delta }x(t)=\frac{\sigma (t)}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{2}+\frac{{\hslash }^2{t}^2}{2m^2{\sigma }^2}}=\sqrt{[\mathrm{\Delta }x(0){]}^2+\frac{{\hslash }^2{t}^2}{4m^2[\mathrm{\Delta }x(0){]}^2}}.$

নিচের লেখচিত্রগুলো তুলে ধরে যে একটি $C_{60}$ অণু বা একটি চিনাবাদামের ভরের বস্তুর তুলনায় একটি ইলেকট্রনের ভরের সমান কণার অস্পষ্টতা কত দ্রুত বৃদ্ধি পায়। এখানে আমরা একটি কারণ দেখতে পাই, যদিও এটি কোনোভাবেই একমাত্র কারণ নয়, যে কেন সব ব্যবহারিক ক্ষেত্রে ম্যাক্রোস্কোপিক বা বৃহৎ বস্তুর অবস্থানের ক্ষেত্রে "একবার সুনির্দিষ্ট হলে, সর্বদা সুনির্দিষ্ট" কথাটি সত্য হয়।

ওপরে: $\mathrm{\Delta }x(0)=1$ ন্যানোমিটার বিশিষ্ট একটি ইলেকট্রন। এক সেকেন্ডে $\mathrm{\Delta }x(t)$ বৃদ্ধি পেয়ে প্রায় ৬০ কিমি হয়।

নিচে: $\mathrm{\Delta }x(0)=1$ সেন্টিমিটার বিশিষ্ট একটি ইলেকট্রন। এক সেকেন্ডে $\mathrm{\Delta }x(t)$ মাত্র ১৬% বৃদ্ধি পায়।

এরপর, $\mathrm{\Delta }x(0)=1$ ন্যানোমিটার বিশিষ্ট একটি $C_{60}$ অণু। এক সেকেন্ডে $\mathrm{\Delta }x(t)$ বৃদ্ধি পেয়ে ৪.৪ সেন্টিমিটার হয়।

পরিশেষে, $\mathrm{\Delta }x(0)=1$ ন্যানোমিটার বিশিষ্ট একটি চিনাবাদাম (২.৮ গ্রাম)। $\mathrm{\Delta }x(t)$ বৃদ্ধি পেয়ে ৭.৫ মাইক্রোমিটার হতে মহাবিশ্বের বর্তমান বয়সের সমান সময় লাগে।