এই কোয়ান্টাম জগৎ/ফাইনম্যান পথ/কোয়ান্টাম থেকে চিরায়ত

কোয়ান্টাম থেকে চিরায়ত

ক্রিয়া

চলুন আন্দোলকে ফিরে যাই

$⟨B|A⟩=\int 𝒟𝒞Z[𝒞:A\to B]$

একটি মুক্ত এবং স্থিতিশীল কণার জন্য আমরা পেয়েছি যে

$Z[𝒞]=e^{-(i/\hslash )m{c}^{2}s[𝒞]},s[𝒞]={\int }_{𝒞}ds,$

যেখানে $ds=\sqrt{d{t}^2-(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2)/c^2}$ হলো পথ-উপাদান $d𝒞$-এর সাথে যুক্ত প্রকৃত-সময়ের ব্যবধি। সাধারণ ক্ষেত্রের জন্য আমরা দেখেছি যে বিস্তার $Z(d𝒞)$ হলো $t,x,y,z$ এবং $dt,dx,dy,dz$-এর একটি ফাংশন অথবা সমতুল্যভাবে, স্থানাঙ্ক $t,x,y,z$, ৪-বেগের উপাংশ $cdt/ds,dx/ds,dy/ds,dz/ds$ এবং সেই সাথে $ds$-এর একটি ফাংশন। একটি কণা যা স্থিতিশীল কিন্তু মুক্ত নয়, তার জন্য আমরা একই যুক্তির মাধ্যমে যা ওপরের বিস্তারের দিকে নিয়ে গেছে, তা থেকে পাই,

$Z[𝒞]=e^{(i/\hslash )S[𝒞]},$

যেখানে আমরা ফাংশনাল $S[𝒞]={\int }_{𝒞}dS$ প্রবর্তন করেছি, যা ক্রিয়া নামে পরিচিত।

একটি মুক্ত এবং স্থিতিশীল কণার জন্য, $S[𝒞]$ হলো প্রকৃত সময় (বা প্রকৃত স্থিতিকাল) $s[𝒞]={\int }_{𝒞}ds$-এর সাথে $-m{c}^2$-এর গুণফল, এবং অতিক্ষুদ্র ক্রিয়া $dS[d𝒞]$ হলো $ds$-এর সমানুপাতিক:

$S[𝒞]=-m{c}^{2}s[𝒞],dS[d𝒞]=-m{c}^{2}ds.$

চলুন পুনরায় আলোচনা করি। আমরা যদি (সব পরিস্থিতিতে) সম্ভাব্যতার $p(B|A)$ হিসাব করতে জানি, তবে একটি স্থিতিশীল কণার গতি সম্পর্কে আমরা সবকিছু জানি। আমরা এটি জানতে পারি যদি আমরা বিস্তার $⟨B|A⟩$ জানি। আমরা শেষেরটি জানতে পারি যদি আমরা ফাংশনাল$Z[𝒞]$ জানি। এবং আমরা এই ফাংশনালটি জানতে পারি যদি আমরা (সব পরিস্থিতিতে) অতিক্ষুদ্র ক্রিয়া $dS(t,x,y,z,dt,dx,dy,dz)$ বা $dS(t,𝐫,dt,d𝐫)$ জানি।

$dS$ সম্পর্কে আমরা কী জানি?

পরপর থাকা আন্দোলকগুলোর গুণনশীলতা সন্নিহিত অতিক্ষুদ্র পথ-খন্ড $d{𝒞}_1$ এবং $d{𝒞}_2$-এর সাথে যুক্ত ক্রিয়াগুলোর যোজনশীলতাকে নির্দেশ করে। অন্য কথায়,

$e^{(i/\hslash )dS(d{𝒞}_1+d{𝒞}_2)}=e^{(i/\hslash )dS(d{𝒞}_2)}{e}^{(i/\hslash )dS(d{𝒞}_1)}$

নির্দেশ করে

$dS(d{𝒞}_1+d{𝒞}_2)=dS(d{𝒞}_1)+dS(d{𝒞}_2)$

এর থেকে বোঝা যায় যে অন্তরক $dS$ অন্তরক $dt,d𝐫$-এর সাপেক্ষে সমসত্ব (১ মাত্রার):

$dS(t,𝐫,\lambda dt,\lambda d𝐫)=\lambda dS(t,𝐫,dt,d𝐫)$

$dS$-এর এই বৈশিষ্ট্যটি ক্রিয়া $S[𝒞]$-কে $𝒞$-এর সাথে যুক্ত একটি (কণা-নির্দিষ্ট) দৈর্ঘ্য হিসেবে এবং $dS$-কে একটি (কণা-নির্দিষ্ট) স্থানকাল জ্যামিতি সংজ্ঞায়িতকারী হিসেবে ভাবার সুযোগ করে দেয়। $\lambda$-এর জন্য $1/dt$ বসালে আমরা পাই:

$dS(t,𝐫,𝐯)=\frac{dS}{dt}$

কোথাও কোনো সমস্যা আছে, তাই না? যেহেতু ডানদিকের অংশটি এখন একটি সসীম রাশি, তাই আমাদের বামদিকের জন্য $dS$ প্রতীকটি ব্যবহার করা উচিত নয়। আমরা আসলে যা পেয়েছি তা হলো এমন একটি ফাংশন $L(t,𝐫,𝐯)$ রয়েছে, যা ল্যাগ্রাঞ্জ ফাংশন নামে পরিচিত, যার জন্য $dS=Ldt$ হয়।

জিওডেসিক সমীকরণ

$A$ থেকে $B.$ পর্যন্ত একটি স্থানকাল পথ $𝒞$ বিবেচনা করুন। চলুন এটিকে এমনভাবে পরিবর্তন ("ভিন্ন") করি যেন $𝒞$-এর প্রতিটি বিন্দু $(t,𝐫)$ একটি অতিক্ষুদ্র পরিমাণ সরে গিয়ে একটি সংশ্লিষ্ট বিন্দু $(t+\delta t,𝐫+\delta 𝐫),$-তে পরিণত হয়, কেবল প্রান্তবিন্দুগুলো ছাড়া, যেগুলো স্থির রাখা হয়: $A$ এবং $B.$ উভয় স্থানেই $\delta t=0$ এবং $\delta 𝐫=0$ থাকে।

যদি $t\to t+\delta t,$ হয়, তবে $dt=t_2-t_1⟶t_2+\delta t_2-(t_1+\delta t_1)=(t_2-t_1)+(\delta t_2-\delta t_1)=dt+d\delta t.$

একইভাবে, $d𝐫\to d𝐫+d\delta 𝐫.$

সাধারণভাবে, $𝒞\to {𝒞}^{\prime }$ পরিবর্তনটি ক্রিয়ার ক্ষেত্রেও অনুরূপ পরিবর্তন ঘটাবে: $S[𝒞]\to S[{𝒞}^{\prime }]\ne S[𝒞].$ যদি ক্রিয়া পরিবর্তিত না হয় (অর্থাৎ, যদি এটি $𝒞$-তে স্থিতিশীল বা স্টেশনারি থাকে),

$\delta S={\int }_{{𝒞}^{\prime }}dS-{\int }_{𝒞}dS=0,$

তবে $𝒞$ হলো $dS.$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত জ্যামিতির একটি জিওডেসিক। (একটি ফাংশন $f(x)$ $x$-এর সেই মানগুলোতে স্থিতিশীল থাকে যেখানে $x$ অতিক্ষুদ্র পরিমাণ পরিবর্তিত হলেও এর মান পরিবর্তিত হয় না। একইভাবে আমরা একটি ফাংশনাল $S[𝒞]$-কে স্থিতিশীল বলি যদি $𝒞$ অতিক্ষুদ্র পরিমাণ পরিবর্তিত হলেও এর মান পরিবর্তিত না হয়।)

জিওডেসিকগুলোকে চিহ্নিত করার একটি সহজ উপায় পেতে, আমরা বিস্তারের মাধ্যমে শুরু করি

$dS({𝒞}^{\prime })=dS(t+\delta t,𝐫+\delta 𝐫,dt+d\delta t,d𝐫+d\delta 𝐫)$

$=dS(t,𝐫,dt,d𝐫)+\frac{\partial dS}{\partial t}\delta t+\frac{\partial dS}{\partial 𝐫}\cdot \delta 𝐫+\frac{\partial dS}{\partial dt}d\delta t+\frac{\partial dS}{\partial d𝐫}\cdot d\delta 𝐫$

এটি আমাদের দেয়

${(}^{\ast }){\int }_{{𝒞}^{\prime }}dS-{\int }_{𝒞}dS={\int }_{𝒞}[\frac{\partial dS}{\partial t}\delta t+\frac{\partial dS}{\partial 𝐫}\cdot \delta 𝐫+\frac{\partial dS}{\partial dt}d\delta t+\frac{\partial dS}{\partial d𝐫}\cdot d\delta 𝐫]$

এরপর আমরা অন্তরজের জন্য গুণের নিয়ম ব্যবহার করি,

$d\left(\frac{\partial dS}{\partial dt}\delta t\right)=\left(d\frac{\partial dS}{\partial dt}\right)\delta t+\frac{\partial dS}{\partial dt}d\delta t,$

$d(\frac{\partial dS}{\partial d𝐫}\cdot \delta 𝐫)=\left(d\frac{\partial dS}{\partial d𝐫}\right)\cdot \delta 𝐫+\frac{\partial dS}{\partial d𝐫}\cdot d\delta 𝐫,$

(*)-এর শেষ দুটি পদকে প্রতিস্থাপন করতে, যা আমাদের নিয়ে যায়

$\delta S=\int [(\frac{\partial dS}{\partial t}-d\frac{\partial dS}{\partial dt})\delta t+(\frac{\partial dS}{\partial 𝐫}-d\frac{\partial dS}{\partial d𝐫})\cdot \delta 𝐫]+\int d(\frac{\partial dS}{\partial dt}\delta t+\frac{\partial dS}{\partial d𝐫}\cdot \delta 𝐫)$

দ্বিতীয় যোগজটি বাতিল হয়ে যায় কারণ এটি $A$ এবং $B,$ প্রান্তবিন্দুগুলোতে বন্ধনীতে থাকা রাশির মানগুলোর পার্থক্যের সমান, যেখানে $\delta t=0$ এবং $\delta 𝐫=0.$ হয়। যদি $𝒞$ একটি জিওডেসিক হয়, তবে প্রথম যোগজটিও বাতিল হয়ে যায়। বস্তুত, এই ক্ষেত্রে সম্ভাব্য সমস্ত (অতিক্ষুদ্র) পরিবর্তন $\delta t$ এবং $\delta 𝐫,$-এর জন্য $\delta S=0$ হওয়া আবশ্যক, যেখান থেকে এটি আসে যে প্রথম যোগজের ইন্টিগ্র্যান্ড বা যোগজীকরণযোগ্য পদ বাতিল হয়ে যায়। মূল কথা হলো $dS$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত জিওডেসিকগুলো জিওডেসিক সমীকরণগুলো সিদ্ধ করে

$\frac{\partial dS}{\partial t}=d\frac{\partial dS}{\partial dt},\frac{\partial dS}{\partial 𝐫}=d\frac{\partial dS}{\partial d𝐫}$

লঘিষ্ঠ ক্রিয়ার নীতি

যদি কোনো বস্তু $A$ থেকে $B,$-তে পরিভ্রমণ করে, তবে তা ঠিক একইভাবে $A$ থেকে $B,$ পর্যন্ত সমস্ত পথ ধরে পরিভ্রমণ করে, যে অর্থে একটি ইলেকট্রন উভয় চিরের মধ্য দিয়ে যায়। তাহলে এটা কীভাবে হয় যে কোনো বড় বস্তু (যেমন একটি গ্রহ, একটি টেনিস বল বা একটি মশা) একটিমাত্র সুনির্দিষ্ট পথে চলছে বলে মনে হয়?

এর অন্তত দুটি কারণ রয়েছে। একটি হলো কোনো বস্তু যত বড় হয়, নিয়ম $B.$ দ্বারা নির্ধারিত শর্তগুলো পূরণ করা তত কঠিন হয়। আরেকটি কারণ হলো এই শর্তগুলো পূরণ হলেও, ভরের $m$ বৃদ্ধির সাথে সাথে চিরায়ত পদার্থবিজ্ঞানের সূত্র অনুযায়ী যেখানে থাকার কথা নয় সেখানে $m$ ভরের কোনো বস্তুকে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা হ্রাস পায়।

এটি বুঝতে হলে আমাদের এই বিষয়টি বিবেচনা করতে হবে যে, $A$ থেকে $B,$-তে পরিভ্রমণ করা কোনো বস্তু গাণিতিকভাবে একটি সুনির্দিষ্ট পথ $𝒞.$ ধরে তা করেছে কিনা তা কঠোরভাবে যাচাই করা অসম্ভব। চলুন একটি অর্ধেক বাস্তবসম্মত অনুমান করি যে, আমরা যা যাচাই করতে পারি তা হলো একটি বস্তু $A$ থেকে $B$-তে পথগুলোর একটি সরু গুচ্ছের মধ্যে দিয়ে পরিভ্রমণ করেছে কিনা — অর্থাৎ একটি সরু নল $𝒯.$-তে থাকা পথগুলো। বস্তুটি এই পথে গেছে কিনা তা খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা হলো পথ যোগজ $I(𝒯)={\int }_{𝒯}𝒟𝒞e^{(i/\hslash )S[𝒞]},$-এর পরম বর্গের সমান, যা $𝒯.$-তে থাকা পথগুলোর ওপর যোগফল বের করে।

ধরে নেওয়া যাক $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত ঠিক একটিমাত্র পথ আছে যার জন্য $S[𝒞]$ স্থিতিশীল থাকে: আমরা যদি পথটিকে সামান্য পরিমাণও পরিবর্তন করি, যেভাবেই হোক না কেন, এর দৈর্ঘ্য পরিবর্তিত হয় না। অন্য কথায়, আমরা ধরে নিই যে ঠিক একটিমাত্র জিওডেসিক আছে। চলুন একে $𝒢,$ বলি এবং ধরে নিই এটি $𝒯.$-তে অবস্থিত।

একটি সাধারণ পথ $𝒞,$-এর পরিবর্তনের সাপেক্ষে দশা $S[𝒞]/\hslash$ যতই দ্রুত পরিবর্তিত হোক না কেন, এটি $𝒢.$-তে স্থিতিশীল থাকবে। মোটামুটিভাবে এর অর্থ হলো, $𝒢$-এর কাছাকাছি অসংখ্য পথ প্রায় সমান দশাসহ $I(𝒯)$-তে অবদান রাখে। ফলস্বরূপ, সংশ্লিষ্ট দশা উৎপাদক $e^{(i/\hslash )S[𝒞]}$-গুলোর যোগফলের মান অনেক বড় হয়।

যদি $S[𝒞]/\hslash$ $𝒞,$-তে স্থিতিশীল না হয়, তবে সবই নির্ভর করে এটি $𝒞.$-এর পরিবর্তনের সাপেক্ষে কত দ্রুত পরিবর্তিত হচ্ছে তার ওপর। যদি এটি যথেষ্ট দ্রুত পরিবর্তিত হয়, তবে $𝒞$-এর কাছাকাছি পথগুলোর সাথে যুক্ত দশাগুলো $[0,2\pi ],$ ব্যবধিতে কমবেশি সমানভাবে বিন্যস্ত থাকে, যাতে সংশ্লিষ্ট দশা উৎপাদকগুলো যোগ হয়ে তুলনামূলকভাবে একটি ছোট মানের জটিল সংখ্যা তৈরি করে। $S[𝒞]/\hslash \to \mathrm{\infty },$ সীমায় $I(𝒯)$-তে একমাত্র উল্লেখযোগ্য অবদানগুলো আসে $𝒢.$-এর চারপাশের অতিক্ষুদ্র পরিবেশের পথগুলো থেকে।

আমরা ধরে নিয়েছি যে $𝒢$ $𝒯.$-তে অবস্থিত। যদি এটি না হয় এবং যদি $S[𝒞]/\hslash$ যথেষ্ট দ্রুত পরিবর্তিত হয়, তবে $𝒯$-এ থাকা যেকোনো পথের কাছাকাছি পথগুলোর সাথে যুক্ত দশাগুলো $[0,2\pi ],$ ব্যবধিতে কমবেশি সমানভাবে বিন্যস্ত থাকে, যাতে $S[𝒞]/\hslash \to \mathrm{\infty }$ সীমায় $I(𝒯).$-তে কোনো উল্লেখযোগ্য অবদান থাকে না।

আপনার নিশ্চয়ই মনে আছে, একটি মুক্ত কণার জন্য $S[𝒞]=-m{c}^{2}s[𝒞].$। এর থেকে আমরা বুঝতে পারি যে, চিরায়ত পদার্থবিজ্ঞানের সূত্র অনুযায়ী যেখানে থাকার কথা নয় সেখানে একটি মুক্তভাবে চলমান বস্তুকে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা এর ভর বৃদ্ধির সাথে সাথে হ্রাস পায়। যেহেতু যথেষ্ট ভারী বস্তুর ক্ষেত্রে তাদের গতির ওপর প্রভাবের কারণে ক্রিয়ায় যে অবদান থাকে তা $|-m{c}^{2}s[𝒞]|,$-এর তুলনায় খুবই নগণ্য, তাই এটি মুক্তভাবে চলমান নয় এমন বস্তুগুলোর ক্ষেত্রেও সমানভাবে সত্য।

তাহলে, চিরায়ত পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রগুলো কী?

এগুলো হলো কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রগুলো $\hslash \to 0.$ সীমায় যা পরিণত হয়। ওপরের আলোচনা থেকে আপনি বুঝতে পারবেন, এই সীমায় একটি কণা জিওডেসিক ধারণকারী কোনো নলের (যতই সরু হোক না কেন) মধ্য দিয়ে পরিভ্রমণ করেছে তা খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা হলো ১, এবং একটি কণা জিওডেসিক ধারণ না করা কোনো নলের (যতই চওড়া হোক না কেন) মধ্য দিয়ে পরিভ্রমণ করেছে তা খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা হলো ০। সুতরাং আমরা চিরায়ত পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রগুলো (শুরুতে একটিমাত্র "বিন্দু ভর"-এর জন্য) এভাবে বিবৃত করতে পারি যে, এটি $dS.$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত জ্যামিতির একটি জিওডেসিক অনুসরণ করে।

এটি সহজেই সাধারণীকরণ করা যায়। $n$ স্বাধীনতার মাত্রা বিশিষ্ট একটি সিস্টেমের জন্য আন্দোলক — যেমন $n=3m$ স্বাধীনতার মাত্রা বিশিষ্ট একটি $m$-কণা সিস্টেম — হলো

$⟨{𝒫}_f,t_f|{𝒫}_i,t_i⟩=\int 𝒟𝒞e^{(i/\hslash )S[𝒞]},$

যেখানে ${𝒫}_i$ এবং ${𝒫}_f$ হলো যথাক্রমে প্রাথমিক সময় $t_i$ এবং চূড়ান্ত সময় $t_f,$-এ সিস্টেমের কনফিগারেশন, এবং যোগজটি সিস্টেমের $n+1$-মাত্রিক কনফিগারেশন স্থানকালে $({𝒫}_i,t_i)$ থেকে $({𝒫}_f,t_f).$ পর্যন্ত সমস্ত পথের ওপর যোগফল বের করে। এই ক্ষেত্রেও, সংশ্লিষ্ট চিরায়ত সিস্টেমটি ক্রিয়া অন্তরক $dS,$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত জ্যামিতির একটি জিওডেসিক অনুসরণ করে, যা এখন $n$-সংখ্যক স্থানিক স্থানাঙ্ক, একটি সময়ের স্থানাঙ্ক এবং সংশ্লিষ্ট $n+1$-সংখ্যক অন্তরকের ওপর নির্ভর করে।

একটি চিরায়ত সিস্টেম তার ক্রিয়া দ্বারা সংজ্ঞায়িত জ্যামিতির একটি জিওডেসিক অনুসরণ করে, এই বিবৃতিটিকে প্রায়শই লঘিষ্ঠ ক্রিয়ার নীতি বলা হয়। এর একটি অধিকতর উপযুক্ত নাম হলো স্থিতিশীল ক্রিয়ার নীতি।

শক্তি ও ভরবেগ

লক্ষ করুন যে, যদি $dS$ $t$-এর ওপর নির্ভর না করে (অর্থাৎ, $\partial dS/\partial t=0$ ) তবে

$E=-\frac{\partial dS}{\partial dt}$

জিওডেসিকগুলো বরাবর ধ্রুবক থাকে। (আমরা একটু পরেই ঋণাত্মক চিহ্নের কারণ আবিষ্কার করব।)

একইভাবে, যদি $dS$ $𝐫$-এর ওপর নির্ভর না করে (অর্থাৎ, $\partial dS/\partial 𝐫=0$ ) তবে

$𝐩=\frac{\partial dS}{\partial d𝐫}$

জিওডেসিকগুলো বরাবর ধ্রুবক থাকে।

$E$ আমাদের জানায় যে একটি পথ $𝒞$-এর খন্ড $d𝒞$-এর সময় অক্ষের ওপর অভিক্ষেপ $dt$ $𝒞.$-এর ক্রিয়ায় কতটা অবদান রাখে। $𝐩$ আমাদের জানায় যে $d𝒞$-এর স্থানের ওপর অভিক্ষেপ $d𝐫$ $S[𝒞].$-তে কতটা অবদান রাখে। যদি $dS$-এর স্পষ্ট কোনো সময়-নির্ভরশীলতা না থাকে, তবে সময় অক্ষের সমান ব্যবধিগুলো $S[𝒞],$-তে সমান অবদান রাখে, এবং যদি $dS$-এর স্পষ্ট কোনো স্থান-নির্ভরশীলতা না থাকে, তবে যেকোনো স্থানিক অক্ষের সমান ব্যবধিগুলো $S[𝒞].$-তে সমান অবদান রাখে। প্রথম ক্ষেত্রে, সমান সময়ের ব্যবধিগুলো ভৌতভাবে সমতুল্য: এগুলো সমান স্থিতিকালকে উপস্থাপন করে। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, সমান স্থানের ব্যবধিগুলো ভৌতভাবে সমতুল্য: এগুলো সমান দূরত্বকে উপস্থাপন করে।

যদি সময়ের স্থানাঙ্কের সমান ব্যবধিগুলো অথবা স্থানের স্থানাঙ্কের সমান ব্যবধিগুলো ভৌতভাবে সমতুল্য না হয়, তবে এর দুটি কারণ থাকতে পারে। প্রথমত, অ-জড়তার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করা হয়েছে। কারণ যদি জড়তার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করা হয়, তবে প্রতিটি মুক্তভাবে চলমান বিন্দু ভর সময়ের স্থানাঙ্কের সমান ব্যবধিতে স্থানের স্থানাঙ্কের সমান ব্যবধিতে সরে যায়, যার অর্থ সমান স্থানাঙ্ক ব্যবধিগুলো ভৌতভাবে সমতুল্য বটে। দ্বিতীয়ত, যা কিছুই চলুক না কেন তা মুক্তভাবে চলছে না: কিছু একটা, তা যাই হোক না কেন, যেকোনোভাবেই হোক এর গতিকে প্রভাবিত করে। এর কারণ হলো কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের গাণিতিক রূপবাদে কোনো বস্তুর গতির ওপর প্রভাব অন্তর্ভুক্ত করার একটি উপায় হলো, $dS$-কে $t$ এবং/অথবা $𝐫.$-এর ওপর নির্ভরশীল করে জড়তার স্থানাঙ্ক ব্যবধিগুলোকে ভৌতভাবে অসমতুল্য করে তোলা।

সুতরাং একটি মুক্তভাবে চলমান চিরায়ত বস্তুর জন্য, $E$ এবং $𝐩$ উভয়ই ধ্রুবক। যেহেতু স্থানাঙ্ক সময়ের সমান ব্যবধিগুলোর ভৌত সমতুল্যতা (যা সময়ের "সমসত্বতা" নামে পরিচিত) থেকে $E$-এর ধ্রুবক থাকার বিষয়টি আসে, এবং যেহেতু (চিরায়তভাবে) শক্তিকে এমন একটি রাশি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার ধ্রুবক থাকা সময়ের সমসত্বতা দ্বারা নির্দেশিত হয়, তাই $E$ হলো বস্তুর শক্তি।

একইভাবে, যেহেতু যেকোনো স্থানিক স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান ব্যবধিগুলোর ভৌত সমতুল্যতা (যা স্থানের "সমসত্বতা" নামে পরিচিত) থেকে $𝐩$-এর ধ্রুবক থাকার বিষয়টি আসে, এবং যেহেতু (চিরায়তভাবে) ভরবেগকে এমন একটি রাশি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার ধ্রুবক থাকা স্থানের সমসত্বতা দ্বারা নির্দেশিত হয়, তাই $𝐩$ হলো বস্তুর ভরবেগ।

চলুন আগের একটি ফলাফল-কে,

$dS(t,𝐫,\lambda dt,\lambda d𝐫)=\lambda dS(t,𝐫,dt,d𝐫),$

$\lambda .$-এর সাপেক্ষে অন্তরজ করি। বামদিকের অংশটি হয়

$\frac{d(dS)}{d\lambda }=\frac{\partial dS}{\partial (\lambda dt)}\frac{\partial (\lambda dt)}{\partial \lambda }+\frac{\partial dS}{\partial (\lambda d𝐫)}\cdot \frac{\partial (\lambda d𝐫)}{\partial \lambda }=\frac{\partial dS}{\partial (\lambda dt)}dt+\frac{\partial dS}{\partial (\lambda d𝐫)}\cdot d𝐫,$

যেখানে ডানদিকের অংশটি হয় কেবল $dS.$। $\lambda =1$ বসিয়ে এবং $E$ ও $𝐩,$-এর ওপরের সংজ্ঞাগুলো ব্যবহার করে আমরা পাই

$-Edt+𝐩\cdot d𝐫=dS.$

$dS=-m{c}^{2}ds$ হলো একটি ৪-স্কেলার। যেহেতু $(cdt,d𝐫)$ হলো একটি ৪-ভেক্টরের উপাংশ, তাই বামদিকের অংশটি, অর্থাৎ $-Edt+𝐩\cdot d𝐫,$ একটি ৪-স্কেলার হবে যদি এবং কেবল যদি $(E/c,𝐩)$ আরেকটি ৪-ভেক্টরের উপাংশ হয়।

(আমরা যদি ঋণাত্মক চিহ্ন ছাড়া $E$ সংজ্ঞায়িত করতাম, তবে এই ৪-ভেক্টরটির উপাংশগুলো হতো $(-E/c,𝐩).$)

একটি মুক্ত বিন্দু ভরের স্থির কাঠামো ${ℱ}^{\prime }$-এ, $d{t}^{\prime }=ds$ এবং $dS=-m{c}^{2}d{t}^{\prime }.$। লরেঞ্জ রূপান্তর ব্যবহার করে আমরা দেখতে পাই যে এটি নিচের রাশির সমান

$dS=-m{c}^2\frac{dt-vdx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=-\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}dt+\frac{m𝐯}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\cdot d𝐫,$

যেখানে $𝐯=(v,0,0)$ হলো $ℱ.$-এ বিন্দু ভরের বেগ। একটি মুক্ত বিন্দু ভরের জন্য এটি পেতে ওপরের আবদ্ধ সমীকরণটির সাথে তুলনা করুন,

$E=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}𝐩=\frac{m𝐯}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$

লরেঞ্জ বলের সূত্র

একটি কণার গতির ওপর প্রভাব অন্তর্ভুক্ত করতে (সেগুলোর কারণ যাই হোক না কেন), আমাদের অবশ্যই একটি মুক্ত কণা একটি পথ খন্ড $d𝒞.$-এর সাথে যে ক্রিয়া অন্তরক $dS=-m{c}^{2}dt\sqrt{1-v^2/c^2}$ যুক্ত করে, তা পরিবর্তন করতে হবে। এটি করার সময় আমাদের খেয়াল রাখতে হবে যেন পরিবর্তিত $dS$ (i) অন্তরকগুলোর সাপেক্ষে সমসত্ব থাকে এবং (ii) একটি ৪-স্কেলার হিসেবে থাকে। এটি করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো এমন একটি পদ যোগ করা যা স্থানাঙ্কের অন্তরকগুলোর ক্ষেত্রে কেবল সমসত্বই নয় বরং রৈখিকও:

${(}^{\ast })dS=-m{c}^{2}dt\sqrt{1-v^2/c^2}-qV(t,𝐫)dt+(q/c)𝐀(t,𝐫)\cdot d𝐫.$

বিশ্বাস করুন আর নাই করুন, সমস্ত চিরায়ত তড়িৎচৌম্বকীয় প্রভাব (তাদের কারণগুলোর বিপরীতে) এই রাশিটির মাধ্যমেই হিসাব করা হয়। $V(t,𝐫)$ হলো একটি স্কেলার ক্ষেত্র (অর্থাৎ, সময় এবং স্থানের স্থানাঙ্কগুলোর এমন একটি ফাংশন যা স্থানের স্থানাঙ্কগুলোর ঘূর্ণনের অধীনে অপরিবর্তনশীল থাকে), $𝐀(t,𝐫)$ হলো একটি ৩-ভেক্টর ক্ষেত্র, এবং $(V,𝐀)$ হলো একটি ৪-ভেক্টর ক্ষেত্র। আমরা $V$ এবং $𝐀$-কে যথাক্রমে স্কেলার বিভব এবং ভেক্টর বিভব বলি। কণা-নির্দিষ্ট ধ্রুবক $q$ হলো বৈদ্যুতিক আধান, যা নির্ধারণ করে একটি নির্দিষ্ট প্রজাতির কণা তড়িৎচৌম্বকীয় ধরনের প্রভাব দ্বারা কতটা শক্তিশালীভাবে প্রভাবিত হবে।

যদি কোনো বিন্দু ভর মুক্ত না হয়, তবে পূর্ববর্তী পরিচ্ছেদের শেষের রাশিগুলো এর গতিশক্তি $E_k$ এবং গতিশীল ভরবেগ ${𝐩}_k.$ প্রদান করে। (*)-কে নিচের রূপে সাজিয়ে

$dS=-(E_k+qV)dt+[{𝐩}_k+(q/c)𝐀]\cdot d𝐫$

এবং একে সংজ্ঞাগুলোতে বসিয়ে

${(}^{\ast }{}^{\ast })E=-\frac{\partial dS}{\partial dt},𝐩=\frac{\partial dS}{\partial d𝐫},$

আমরা পাই

$E=E_k+qV,𝐩={𝐩}_k+(q/c)𝐀.$

$qV$ এবং $(q/c)𝐀$ হলো কণাটির যথাক্রমে বিভব শক্তি এবং বিভব ভরবেগ।

এখন আমরা (**)-কে জিওডেসিক সমীকরণে বসাই

$\frac{\partial dS}{\partial 𝐫}=d\frac{\partial dS}{\partial d𝐫}.$

ডানদিকের অংশের জন্য আমরা পাই

$d{𝐩}_k+\frac{q}{c}d𝐀=d{𝐩}_k+\frac{q}{c}[dt\frac{\partial 𝐀}{\partial t}+(d𝐫\cdot \frac{\partial }{\partial 𝐫})𝐀],$

যেখানে বামদিকের অংশটি হয়

$-q\frac{\partial V}{\partial 𝐫}dt+\frac{q}{c}\frac{\partial (𝐀\cdot d𝐫)}{\partial 𝐫}=-q\frac{\partial V}{\partial 𝐫}dt+\frac{q}{c}[(d𝐫\cdot \frac{\partial }{\partial 𝐫})𝐀+d𝐫\times (\frac{\partial }{\partial 𝐫}\times 𝐀)].$

দুটি পদ বাতিল হয়ে যায় এবং চূড়ান্ত ফলাফলটি হলো

$d{𝐩}_k=q\underset{\equiv 𝐄}{\underbrace{(-\frac{\partial V}{\partial 𝐫}-\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐀}{\partial t})}}dt+d𝐫\times \frac{q}{c}\underset{\equiv 𝐁}{\underbrace{(\frac{\partial }{\partial 𝐫}\times 𝐀)}}=q𝐄dt+d𝐫\times \frac{q}{c}𝐁.$

যখন একটি চিরায়ত বস্তু একটি জিওডেসিকের খন্ড $d𝒢$ বরাবর পরিভ্রমণ করে, তখন এর গতিশীল ভরবেগ দুটি পদের যোগফল দ্বারা পরিবর্তিত হয়, যার একটি $d𝒢$-এর সময়গত উপাংশ $dt$-এর ক্ষেত্রে রৈখিক এবং অন্যটি স্থানিক উপাংশ $d𝐫.$-এর ক্ষেত্রে রৈখিক। ${𝐩}_k$-এর পরিবর্তনে $dt$ কতটা অবদান রাখে তা নির্ভর করে তড়িৎ ক্ষেত্র $𝐄,$-এর ওপর এবং $d𝐫$ কতটা অবদান রাখে তা নির্ভর করে চৌম্বক ক্ষেত্র $𝐁.$-এর ওপর। শেষ সমীকরণটি সাধারণত এই রূপে লেখা হয়

$\frac{d{𝐩}_k}{dt}=q𝐄+\frac{q}{c}𝐯\times 𝐁,$

যাকে লরেঞ্জ বলের সূত্র বলা হয় এবং এর সাথে নিচের গল্পটি জুড়ে দেওয়া হয়: তড়িৎচৌম্বকীয় ক্ষেত্র নামে পরিচিত একটি ভৌত সত্তার অস্তিত্ব রয়েছে, যা সর্বত্র বিদ্যমান, এবং যা একটি আধান $q$-এর ওপর একটি বৈদ্যুতিক বল $q𝐄$ এবং একটি চৌম্বক বল $(q/c)𝐯\times 𝐁.$ প্রয়োগ করে।

(টীকা: লরেঞ্জ বলের সূত্রের এই রূপটি গাউসীয় এককের পদ্ধতিতে সত্য। এমকেএসএ এককের পদ্ধতিতে $c$ থাকে না।)

কোথা থেকে এল চিরায়ত গল্প?

স্থানকালে এমন একটি ছোট আয়তক্ষেত্র কল্পনা করুন যার কোণগুলো হলো

$A=(0,0,0,0),B=(dt,0,0,0),C=(0,dx,0,0),D=(dt,dx,0,0).$

চলুন প্রাকৃতিক এককে ( $c=1$ ) একটি একক আধানের ($q=1$) জন্য $B$ হয়ে $A$ থেকে $D$ পর্যন্ত পথের ক্রিয়ায় তড়িৎচৌম্বকীয় অবদান হিসাব করি:

$S_{ABD}=-V(dt/2,0,0,0)dt+A_x(dt,dx/2,0,0)dx$

$=-V(dt/2,0,0,0)dt+[A_x(0,dx/2,0,0)+\frac{\partial A_x}{\partial t}dt]dx.$

এরপর, $C$ হয়ে $A$ থেকে $D$ পর্যন্ত পথের ক্রিয়ায় অবদান:

$S_{ACD}=A_x(0,dx/2,0,0)dx-V(dt/2,dx,0,0)dt$

$=A_x(0,dx/2,0,0)dx-[V(dt/2,0,0,0)+\frac{\partial V}{\partial x}dx]dt.$

পার্থক্যটি দেখুন:

$\mathrm{\Delta }S=S_{ACD}-S_{ABD}=(-\frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial t})dtdx=E_{x}dtdx.$

বিকল্পভাবে, আপনি $\mathrm{\Delta }S$-কে $A\to B\to D\to C\to A.$ লুপের ক্রিয়ায় তড়িৎচৌম্বকীয় অবদান হিসেবে ভাবতে পারেন।

চলুন নিচের কোণগুলো বিশিষ্ট একটি ছোট আয়তক্ষেত্রের জন্য হিসাবটি পুনরাবৃত্তি করি

$A=(0,0,0,0),B=(0,0,dy,0),C=(0,0,0,dz),D=(0,0,dy,dz).$

$S_{ABD}=A_z(0,0,0,dz/2)dz+A_y(0,0,dy/2,dz)dy$

$=A_z(0,0,0,dz/2)dz+[A_y(0,0,dy/2,0)+\frac{\partial A_y}{\partial z}dz]dy,$

$S_{ACD}=A_y(0,0,dy/2,0)dy+A_z(0,0,dy,dz/2)dz$

$=A_y(0,0,dy/2,0)dy+[A_z(0,0,0,dz/2)+\frac{\partial A_z}{\partial y}dy]dz,$

$\mathrm{\Delta }S=S_{ACD}-S_{ABD}=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})dydz=B_{x}dydz.$

সুতরাং এই লুপটির ক্রিয়ায় তড়িৎচৌম্বকীয় অবদান লুপটির মধ্য দিয়ে $𝐁$-এর ফ্লাক্সের সমান।

(i) স্টোকসের উপপাদ্য এবং (ii) $𝐀,$-এর সাপেক্ষে $𝐁$-এর সংজ্ঞার কথা স্মরণ করে, আমরা দেখতে পাই যে

${\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}𝐀\cdot d𝐫={\int }_{\mathrm{\Sigma }}\text{curl}𝐀\cdot d𝜮={\int }_{\mathrm{\Sigma }}𝐁\cdot d𝜮.$

অন্য কথায়, একটি লুপ $\partial \mathrm{\Sigma }$ (বা $\partial \mathrm{\Sigma }$ দ্বারা আবদ্ধ যেকোনো তল $\mathrm{\Sigma }$)-এর মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত চৌম্বক ফ্লাক্স লুপটির চারপাশে (বা লুপ দ্বারা আবদ্ধ যেকোনো তলের চারপাশে) $𝐀$-এর সার্কুলেশন বা আবর্তনের সমান।

সসীম আয়তক্ষেত্র $A\to B\to D\to C\to A$-এর চারপাশে একটি সার্কুলেশন ${\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}𝐀\cdot d𝐫$-এর প্রভাব হলো $A\to C\to D.$ খন্ডের সাথে যুক্ত ক্রিয়ার তুলনায় $A\to B\to D$ খন্ডের সাথে যুক্ত ক্রিয়া বৃদ্ধি (বা হ্রাস) করা। যদি খন্ড দুটির ক্রিয়া সমান হয়, তবে আমরা আশা করতে পারি যে $A$ থেকে $D$ পর্যন্ত লঘিষ্ঠ ক্রিয়ার পথটি একটি সরলরেখা হবে। যদি একটি খন্ডের ক্রিয়া অন্যটির চেয়ে বেশি হয়, তবে আমরা আশা করতে পারি যে $A$ থেকে $D$ পর্যন্ত লঘিষ্ঠ ক্রিয়ার পথটি বৃহত্তর ক্রিয়াবিশিষ্ট খন্ডটি থেকে দূরে বেঁকে যাবে।

চিরায়ত গল্পের সাথে এর তুলনা করুন, যা একটি চৌম্বক ক্ষেত্রে একটি আহিত কণার পথের বক্রতাকে এমন একটি বল প্রয়োগ করে ব্যাখ্যা করে, যা চৌম্বক ক্ষেত্র এবং কণার গতির দিক উভয়ের সমকোণে কাজ করে। একই প্রভাবের কোয়ান্টাম-বলবিজ্ঞানভিত্তিক আলোচনা এমন কোনো ব্যাখ্যা প্রদান করে না। কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান কোনো ধরনের কৌশলের আশ্রয় নেয় না। এটি কেবল আমাদের জানায় যে, $A$ থেকে $D,$ পর্যন্ত পরিভ্রমণকারী একটি যথেষ্ট ভারী আধানের ক্ষেত্রে, $A$-কে $D,$-এর সাথে যুক্তকারী ক্রিয়া-জিওডেসিক ধারণ করে না এমন কোনো পথ-গুচ্ছের মধ্য দিয়ে এটি পরিভ্রমণ করেছে, তা খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা প্রায় ০।

চিরায়ত গল্পের ক্ষেত্রেও প্রায় একই কথা প্রযোজ্য, যা অনুসারে একটি স্থানকাল সমতলে একটি আহিত কণার পথের বক্রতা এমন একটি বলের কারণে ঘটে যা তড়িৎ ক্ষেত্রের দিকে কাজ করে। (লক্ষ করুন যে, একটি স্থানকাল সমতলে বক্রতা ত্বরণ বা মন্দনের সমতুল্য। বিশেষ করে, $x$ অক্ষ ধারণকারী একটি স্থানকাল সমতলে বক্রতা হলো $x$ অক্ষের সমান্তরাল একটি দিকে ত্বরণের সমতুল্য।) এই ক্ষেত্রে সংশ্লিষ্ট সার্কুলেশনটি হলো একটি স্থানকাল লুপের চারপাশে ৪-ভেক্টর বিভব $(cV,𝐀)$এর সার্কুলেশন।