এই কোয়ান্টাম জগৎ/ফাইনম্যান পথ/মুক্ত আন্দোলক

একটি মুক্ত ও স্থিতিশীল কণার জন্য আন্দোলক

পথ যোগজ হিসেবে আন্দোলক

ধরা যাক, আমরা $\mathrm{\Delta }t$ সময়ের সমান ব্যবধানে m-সংখ্যক মধ্যবর্তী অবস্থান পরিমাপ করছি। এই পরিমাপগুলোর প্রতিটিই একটি ডিটেক্টর বা শনাক্তকারী বিন্যাসের সাহায্যে করা হয়। এই বিন্যাসটি n-সংখ্যক পরস্পর বিচ্ছিন্ন অঞ্চল $R_k,$ $k=1,\dots ,n.$-কে পর্যবেক্ষণ করে। নিয়ম বি দ্বারা নির্ধারিত শর্তাবলীর অধীনে, আন্দোলক $⟨B|A⟩$ এখন নিচের বিস্তারগুলোর সমষ্টির সমান:

$\sum _{k_1=1}^n\cdots \sum _{k_m=1}^n⟨B|R_{k_m}⟩\cdots ⟨R_{k_2}|R_{k_1}⟩⟨R_{k_1}|A⟩.$

দ্বৈত সীমা $\mathrm{\Delta }t\to 0$ (যা নির্দেশ করে যে $m\to \mathrm{\infty }$) এবং $n\to \mathrm{\infty }$-এর ক্ষেত্রে কী ঘটে, তা বোঝা কঠিন নয়। বহুমুখী যোগফল $\sum _{k_1=1}^n\cdots \sum _{k_m=1}^n$ একটি যোগজ $\int 𝒟𝒞$-এ পরিণত হয়। এই যোগজটি A থেকে B পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন স্থানকাল পথগুলোর ওপর কাজ করে। একই সাথে, বিস্তার $⟨B|R_{k_m}⟩\cdots ⟨R_{k_1}|A⟩$ একটি জটিল-মানবিশিষ্ট ফাংশনাল $Z[𝒞:A\to B]$-এ পরিণত হয়। এটি মূলত অবিচ্ছিন্ন ফাংশনগুলোর একটি জটিল ফাংশন, যা A থেকে B পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন স্থানকাল পথগুলোকে উপস্থাপন করে:

$⟨B|A⟩=\int 𝒟𝒞Z[𝒞:A\to B]$

এই $\int 𝒟𝒞$ যোগজটি আপনার পরিচিত সাধারণ রিমান যোগজ ${\int }_a^{b}dxf(x),$-এর মতো নয়। সাধারণ রিমান যোগজে প্রতিটি অতিক্ষুদ্র ব্যবধি $dx$, ওই ব্যবধির ভেতরে $f(x)$-এর মানের সমানুপাতিক অবদান রাখে। কিন্তু এটি একটি ফাংশনাল বা পথ যোগজ (path integral)। এখানে অতিক্ষুদ্র প্রস্থের $𝒟𝒞$ প্রতিটি পথ-"গুচ্ছ", ওই গুচ্ছের ভেতরে $Z[𝒞]$-এর মানের সমানুপাতিক অবদান রাখে।

আপাতদৃষ্টিতে, পথ যোগজ $\int 𝒟𝒞$ কেবল একটি ধারণামাত্র। এগুলোর মান নির্ণয়ের উপযুক্ত পদ্ধতিগুলো কম-বেশি প্রতিটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রের ওপর ভিত্তি করে আলাদাভাবে তৈরি করে নিতে হয়।

একটি মুক্ত কণা

এবার A থেকে B পর্যন্ত যেকোনো একটি পথ $𝒞$ বেছে নিন। তারপর $𝒞$-এর যেকোনো একটি অতিক্ষুদ্র খণ্ড $d𝒞$ নিন। $d𝒞$-এর শুরু ও শেষের বিন্দুগুলোকে যথাক্রমে জড়তার স্থানাঙ্ক $t,x,y,z$ এবং $t+dt,x+dx,y+dy,z+dz,$ দিয়ে চিহ্নিত করুন। সাধারণ ক্ষেত্রে, বিস্তার $Z(d𝒞)$ হবে $t,x,y,z$ এবং $dt,dx,dy,dz.$-এর একটি ফাংশন। তবে একটি মুক্ত কণার ক্ষেত্রে, $Z(d𝒞)$ স্থানকালে $d𝒞$-এর অবস্থান ($t,x,y,z$ দ্বারা নির্দেশিত) কিংবা এর স্থানকালিক অভিমুখতা (৪-বেগ $(cdt/ds,dx/ds,dy/ds,dz/ds)$ দ্বারা নির্দেশিত)—কোনোটির ওপরই নির্ভর করে না। এটি কেবল প্রকৃত সময়ের ব্যবধি $ds=\sqrt{d{t}^2-(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2)/c^2}.$-এর ওপর নির্ভর করে।

(যেহেতু এর নর্ম আলোর বেগের সমান, তাই ৪-বেগ চারটির বদলে তিনটি স্বাধীন স্থিতিমাপের ওপর নির্ভর করে। এটি $ds,$-এর সাথে মিলিত হয়ে চারটি স্বাধীন সংখ্যা $dt,dx,dy,dz.$-এর মতোই সমান তথ্য ধারণ করে।)

সুতরাং একটি মুক্ত কণার জন্য $Z(d𝒞)=Z(ds).$। এর পাশাপাশি, পরপর থাকা আন্দোলকগুলোর গুণনশীলতা থেকে আমরা জানতে পারি যে:

$\prod _{j}Z(d{s}_j)=Z\left(\sum _{j}d{s}_j\right)⟶Z\left({\int }_{𝒞}ds\right)$

এ থেকে বোঝা যায় যে, এমন একটি জটিল সংখ্যা $z$ রয়েছে যার জন্য $Z[𝒞]=e^{zs[𝒞:A\to B]},$ হয়। এখানে রেখা যোগজ $s[𝒞:A\to B]={\int }_{𝒞}ds$ একটি ঘড়ি দ্বারা অতিক্রান্ত সময় নির্দেশ করে, যখন ঘড়িটি $𝒞.$ পথ ধরে A থেকে B-তে পরিভ্রমণ করে।

একটি মুক্ত ও স্থিতিশীল কণা

সম্পূর্ণ স্থানজুড়ে $|⟨B|A⟩{|}^2$-কে (${𝐫}_B$-এর ফাংশন হিসেবে) যোগজীকরণ করে আমরা একটি সম্ভাব্যতা পাই। এটি হলো— $t_A,{𝐫}_A$ স্থানকাল বিন্দু থেকে নিক্ষিপ্ত একটি কণা $t_B.$ সময়েও টিকে থাকার সম্ভাব্যতা। একটি স্থিতিশীল কণার জন্য এই সম্ভাব্যতা ১-এর সমান:

$\int d^3{r}_B{|⟨t_B,{𝐫}_B|t_A,{𝐫}_A⟩|}^2=\int d^3{r}_B{|\dots \int 𝒟𝒞e^{zs[𝒞:A\to B]}|}^2=1$

আপনি যদি শান্ত ও খোলা মনে এই সমীকরণটি নিয়ে ভাবেন, তবে দেখতে পাবেন যে জটিল সংখ্যা $z=a+ib$-এর যদি কোনো বাস্তব অংশ $a\ne 0,$ থাকত, তবে সমান চিহ্নের মধ্যবর্তী যোগজটি সূচকীয় উৎপাদক $e^{as[𝒞]}$-এর কারণে $t_B$-এর ফাংশন হিসেবে হয় সূচকীয়ভাবে বৃদ্ধি পেত $(a>0)$ অথবা সূচকীয়ভাবে হ্রাস পেত $(a<0)$।

ভরের অর্থ

তাই একটি মুক্ত ও স্থিতিশীল কণার আন্দোলকের কেবল একটিমাত্র "স্বাধীনতার মাত্রা" (degree of freedom) থাকে; এটি কেবল $b.$-এর মানের ওপর নির্ভর করে। যদি প্রকৃত সময় সেকেন্ড এককে পরিমাপ করা হয়, তবে $b$-এর একক হয় রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ড। আমরা $e^{ibs},$-কে একটি ঘড়ি হিসেবে কল্পনা করতে পারি, যা $𝒞,$ পথ ধরে A থেকে B-তে ভ্রমণকারী একটি কণা বহন করে (যেখানে $s$ হলো $𝒞,$ পথের একটি প্রকৃত-সময় প্যারামিটার)। তবে আমাদের মনে রাখতে হবে যে, এটি বাস্তব জগতের কোনো ভৌত দিক নয়, বরং কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের গাণিতিক কাঠামোর একটি দিক মাত্র।

প্রচলিত নিয়মগুলো হলো:

• একটি ঋণাত্মক চিহ্ন যুক্ত করা (যাতে ঘড়িটি সত্যিই ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরে!): $Z=e^{-ibs[𝒞]},$
• $2\pi$ দ্বারা গুণ করা (যাতে আমরা $b$-কে ঘড়ির "টিক টিক" করার হার—অর্থাৎ এটি প্রতি সেকেন্ডে যতগুলো চক্র সম্পন্ন করে—হিসেবে ভাবতে পারি): $Z=e^{-i2\pi bs[𝒞]},$
• প্লাঙ্কের ধ্রুবক $h$ দ্বারা ভাগ করা (যাতে $b$-কে শক্তির এককে পরিমাপ করা যায় এবং একে কণার নিশ্চল শক্তি বলা হয়): $Z=e^{-i(2\pi /h)bs[𝒞]}=e^{-(i/\hslash )bs[𝒞]},$
• এবং $c^2$ দ্বারা গুণ করা (যাতে $b$-কে ভরের এককে পরিমাপ করা যায় এবং একে কণার নিশ্চল ভর বলা হয়): $Z=e^{-(i/\hslash )b{c}^{2}s[𝒞]}.$

সব জায়গায় একই অক্ষর $b$ ব্যবহার করার উদ্দেশ্য হলো এটি স্পষ্ট করা যে, এগুলো একই ভৌত রাশিকে নির্দেশ করে—যা কেবল ভিন্ন ভিন্ন এককে পরিমাপ করা হয়েছে। প্রচলিত এককের পরিবর্তে আমরা যদি প্রাকৃতিক একক ব্যবহার করি, যেখানে $\hslash =c=1,$ হয়, তবে $b$-এর বিভিন্ন রূপের অভিন্নতা তাৎক্ষণিকভাবে স্পষ্ট হয়ে ওঠে।