লজিক গেট/পূর্ণবিয়োগকারী

পূর্ণবিয়োগকারী হলো একটি সংমিশ্রণ সার্কিট যা তিনটি বিট বিয়োগ করতে পারে, বিয়োজ্য, বিয়োজক এবং পূর্ববর্তী ধাপ থেকে আসা ধার-ইন। এটি দুটি আউটপুট দেয়, বিয়োগফল এবং ধার-আউট।

অর্ধবিয়োগকারী কেবল দুটি বিট বিয়োগ করতে পারে এবং পূর্ববর্তী ধাপের ধার গ্রহণ করতে পারে না। পূর্ণবিয়োগকারী সেই সীমাবদ্ধতা দূর করে। তাই বহু-বিটের বাইনারি বিয়োগের ক্ষেত্রে পূর্ণবিয়োগকারী অপরিহার্য।

বাস্তব জীবনের উপমা

হাতে হাতে বিয়োগ করার সময় যখন উপরের সংখ্যা ছোট হয় তখন পরের ঘর থেকে ধার নিতে হয়। যেমন $\text{৩২}-\text{১৭}$ করতে গেলে একক স্থানে $\text{২}-\text{৭}$ সম্ভব না, তাই দশক স্থান থেকে ধার নিতে হয়। বাইনারিতেও একই ঘটনা ঘটে। পূর্ণবিয়োগকারী এই ধার-ইন সংকেতকে তৃতীয় ইনপুট হিসেবে নিয়ে হিসাব করে।

ইনপুট ও আউটপুটের নামকরণ

পূর্ণবিয়োগকারীর ইনপুট ও আউটপুট

নাম	চিহ্ন	ভূমিকা
বিয়োজ্য	$A$	যে সংখ্যা থেকে বিয়োগ করা হবে
বিয়োজক	$B$	যে সংখ্যাটি বিয়োগ করা হবে
ধার-ইন	$B_{in}$	পূর্ববর্তী ধাপ থেকে আসা ধার
বিয়োগফল	$D$	বিয়োগের ফলাফল বিট
ধার-আউট	$B_{out}$	পরবর্তী ধাপে পাঠানো ধার

বুলিয়ান রাশি

তিনটি ইনপুট $A$, $B$ এবং $B_{in}$ থেকে দুটি আউটপুট পাওয়া যায়:

বিয়োগফল

$D=A\oplus B\oplus B_{in}$

ধার-আউট

$B_{out}=\overline{A}\cdot B+\overline{A}\cdot B_{in}+B\cdot B_{in}$

ধার-আউটের রাশিটিকে বিকল্পভাবেও লেখা যায়:

$B_{out}=\overline{A}\cdot (B\oplus B_{in})+B\cdot B_{in}$

বিয়োগফলের রাশিটি দুটি এক্স-অর গেটের সমন্বয় এবং ধার-আউটের রাশিতে তিনটি অ্যান্ড গেট ও দুটি অর গেট লাগে।

সত্যক সারণী

তিনটি ইনপুট থাকায় মোট ${\text{২}}^{\text{৩}}=\text{৮}$টি সারি:

পূর্ণবিয়োগকারীর সত্যক সারণী

$A$	$B$	$B_{in}$	$D$	$B_{out}$	বাইনারি বিয়োগ	ব্যাখ্যা
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}-\text{০}-\text{০}=\text{০}$	ধার নেই
$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}-\text{০}-\text{১}=-\text{১}$	ধার নিয়ে $\text{১০}-\text{১}=\text{১}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}-\text{১}=-\text{১}$	ধার নিয়ে $\text{১০}-\text{১}=\text{১}$
$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}-\text{১}-\text{১}=-\text{২}$	ধার নিয়ে $\text{১০}-\text{১০}=\text{০}$
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}-\text{০}-\text{০}=\text{১}$	ধার নেই
$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}-\text{০}-\text{১}=\text{০}$	ধার নেই
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{০}$	$\text{১}-\text{১}-\text{০}=\text{০}$	ধার নেই
$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}$	$\text{১}-\text{১}-\text{১}=-\text{১}$	ধার নিয়ে $\text{১১}-\text{১০}=\text{১}$

ধার-আউট কখন হয়

সত্যক সারণী থেকে দেখা যায় $B_{out}=\text{১}$ হয় যখন:

• $A=\text{০}$ এবং $B=\text{১}$ (ইনপুট ধার যাই হোক)
• $A=\text{০}$ এবং $B_{in}=\text{১}$
• $B=\text{১}$ এবং $B_{in}=\text{১}$

অর্থাৎ যখনই বিয়োজ্য $A$ কে ছাড়িয়ে বিয়োজক ও ধার-ইনের সমষ্টি বড় হয়ে যায়।

লজিক সার্কিট

পূর্ণবিয়োগকারী সার্কিট তৈরিতে যা লাগে:

পূর্ণবিয়োগকারীর লজিক সার্কিটে ব্যবহৃত গেট

আউটপুট	প্রয়োজনীয় গেট	বুলিয়ান রাশি
বিয়োগফল $D$	দুটি এক্স-অর গেট	$D=A\oplus B\oplus B_{in}$
ধার-আউট $B_{out}$	একটি নট, তিনটি অ্যান্ড, দুটি অর গেট	$B_{out}=\overline{A}B+\overline{A}{B}_{in}+B{B}_{in}$

দুটি অর্ধবিয়োগকারী দিয়ে পূর্ণবিয়োগকারী তৈরি

দুটি অর্ধবিয়োগকারী ও একটি অর গেট দিয়ে একটি পূর্ণবিয়োগকারী তৈরি করা যায়:

প্রথম অর্ধবিয়োগকারী

ইনপুট $A$ ও $B$:

$D_1=A\oplus B$

$B_{out1}=\overline{A}\cdot B$

দ্বিতীয় অর্ধবিয়োগকারী

ইনপুট $D_1$ ও $B_{in}$:

$D=D_1\oplus B_{in}=A\oplus B\oplus B_{in}$

$B_{out2}=\overline{D_1}\cdot B_{in}=\overline{(A\oplus B)}\cdot B_{in}$

চূড়ান্ত ধার-আউট

$B_{out}=B_{out1}+B_{out2}=\overline{A}\cdot B+\overline{(A\oplus B)}\cdot B_{in}$

দুটি অর্ধবিয়োগকারী দিয়ে পূর্ণবিয়োগকারী তৈরির সারসংক্ষেপ

ধাপ	সার্কিট	আউটপুট
ধাপ ১	প্রথম অর্ধবিয়োগকারী ($A,B$)	$D_1=A\oplus B$, $B_{out1}=\overline{A}B$
ধাপ ২	দ্বিতীয় অর্ধবিয়োগকারী ($D_1,B_{in}$)	$D=D_1\oplus B_{in}$, $B_{out2}=\overline{D_1}\cdot B_{in}$
ধাপ ৩	অর গেট ($B_{out1},B_{out2}$)	$B_{out}=B_{out1}+B_{out2}$

অর্ধবিয়োগকারী ও পূর্ণবিয়োগকারীর তুলনা

অর্ধবিয়োগকারী বনাম পূর্ণবিয়োগকারী

বৈশিষ্ট্য	অর্ধবিয়োগকারী	পূর্ণবিয়োগকারী
ইনপুটের সংখ্যা	$\text{২}$ ($A$, $B$)	$\text{৩}$ ($A$, $B$, $B_{in}$)
আউটপুটের সংখ্যা	$\text{২}$ ($D$, $B_{out}$)	$\text{২}$ ($D$, $B_{out}$)
ধার-ইন	নেই	আছে
বিয়োগফলের রাশি	$D=A\oplus B$	$D=A\oplus B\oplus B_{in}$
ধার-আউটের রাশি	$B_{out}=\overline{A}\cdot B$	$B_{out}=\overline{A}B+\overline{A}{B}_{in}+B{B}_{in}$
প্রয়োজনীয় গেট	এক্স-অর + নট + অ্যান্ড	দুটি অর্ধবিয়োগকারী + অর গেট
বহু-বিট বিয়োগে ব্যবহার	কেবল সর্বনিম্ন বিটে	যেকোনো বিটে

পূর্ণযোগকারীর সাথে তুলনা

পূর্ণবিয়োগকারী ও পূর্ণযোগকারীর গঠন প্রায় একই, কেবল ধারের দিক আলাদা:

পূর্ণযোগকারী বনাম পূর্ণবিয়োগকারী

বৈশিষ্ট্য	পূর্ণযোগকারী	পূর্ণবিয়োগকারী
অপারেশন	যোগ	বিয়োগ
তৃতীয় ইনপুট	ক্যারি-ইন $C_{in}$	ধার-ইন $B_{in}$
ফলাফল বিট	যোগফল $S=A\oplus B\oplus C_{in}$	বিয়োগফল $D=A\oplus B\oplus B_{in}$
অগ্রবর্তী বিট	ক্যারি-আউট	ধার-আউট
ক্যারি/ধার শর্ত	সংখ্যা বেশি হলে ক্যারি	সংখ্যা কম হলে ধার

লক্ষ করো বিয়োগফলের রাশি ও যোগফলের রাশি একই, $A\oplus B\oplus \text{তৃতীয় ইনপুট}$, কেবল তৃতীয় ইনপুটের নাম ও ক্যারি/ধার শর্ত আলাদা।

বহু-বিট বিয়োগকারীতে প্রয়োগ

দুটি বহু-বিট সংখ্যা বিয়োগ করতে একটি অর্ধবিয়োগকারী ও একাধিক পূর্ণবিয়োগকারীর প্রয়োজন হয়। সর্বনিম্ন বিটে অর্ধবিয়োগকারী এবং বাকি সব বিটে পূর্ণবিয়োগকারী ব্যবহার করা হয়।

উদাহরণ হিসেবে চার বিটের বিয়োগকারী সার্কিটে:

সর্বনিম্ন বিট ($b_0$) → অর্ধবিয়োগকারী

দ্বিতীয় বিট ($b_1$) → পূর্ণবিয়োগকারী (ধার-ইন = $b_0$ এর ধার-আউট)

তৃতীয় বিট ($b_2$) → পূর্ণবিয়োগকারী (ধার-ইন = $b_1$ এর ধার-আউট)

সর্বোচ্চ বিট ($b_3$) → পূর্ণবিয়োগকারী (ধার-ইন = $b_2$ এর ধার-আউট)

উদাহরণ

উদাহরণ ১: সরল বিয়োগ

$A=\text{১},B=\text{১},B_{in}=\text{০}$ হলে পূর্ণবিয়োগকারীর আউটপুট নির্ণয় করো।

$D=\text{১}\oplus \text{১}\oplus \text{০}=\text{০}\oplus \text{০}=\text{০}$

$B_{out}=\overline{\text{১}}\cdot \text{১}+\overline{\text{১}}\cdot \text{০}+\text{১}\cdot \text{০}=\text{০}+\text{০}+\text{০}=\text{০}$

ফলাফল: $D=\text{০}$, $B_{out}=\text{০}$। বাইনারিতে: $\text{১}-\text{১}-\text{০}=\text{০}$

উদাহরণ ২: ধার সহ বিয়োগ

$A=\text{০},B=\text{১},B_{in}=\text{০}$ হলে আউটপুট নির্ণয় করো।

$D=\text{০}\oplus \text{১}\oplus \text{০}=\text{১}\oplus \text{০}=\text{১}$

$B_{out}=\overline{\text{০}}\cdot \text{১}+\overline{\text{০}}\cdot \text{০}+\text{১}\cdot \text{০}=\text{১}\cdot \text{১}+\text{০}+\text{০}=\text{১}$

ফলাফল: $D=\text{১}$, $B_{out}=\text{১}$। বাইনারিতে: $\text{০}-\text{১}$ সম্ভব না, তাই ধার নিয়ে $\text{১০}-\text{১}=\text{০১}$ → $D=\text{১}$, ধার = $\text{১}$

উদাহরণ ৩: তিনটি ইনপুটই ১

$A=\text{১},B=\text{১},B_{in}=\text{১}$ হলে আউটপুট নির্ণয় করো।

$D=\text{১}\oplus \text{১}\oplus \text{১}=\text{০}\oplus \text{১}=\text{১}$

$B_{out}=\overline{\text{১}}\cdot \text{১}+\overline{\text{১}}\cdot \text{১}+\text{১}\cdot \text{১}=\text{০}+\text{০}+\text{১}=\text{১}$

ফলাফল: $D=\text{১}$, $B_{out}=\text{১}$। বাইনারিতে: $\text{১}-\text{১}-\text{১}=-\text{১}$, ধার নিয়ে $\text{১১}-\text{১০}=\text{১}$

উদাহরণ ৪: দুটি অর্ধবিয়োগকারী দিয়ে যাচাই

$A=\text{০},B=\text{১},B_{in}=\text{১}$ হলে দুটি অর্ধবিয়োগকারীর ধাপে ধাপে আউটপুট নির্ণয় করো।

প্রথম অর্ধবিয়োগকারী ($A=\text{০},B=\text{১}$):

$D_1=\text{০}\oplus \text{১}=\text{১}$

$B_{out1}=\overline{\text{০}}\cdot \text{১}=\text{১}\cdot \text{১}=\text{১}$

দ্বিতীয় অর্ধবিয়োগকারী ($D_1=\text{১},B_{in}=\text{১}$):

$D=\text{১}\oplus \text{১}=\text{০}$

$B_{out2}=\overline{\text{১}}\cdot \text{১}=\text{০}\cdot \text{১}=\text{০}$

চূড়ান্ত ধার-আউট:

$B_{out}=B_{out1}+B_{out2}=\text{১}+\text{০}=\text{১}$

ফলাফল: $D=\text{০}$, $B_{out}=\text{১}$। যাচাই: $\text{০}-\text{১}-\text{১}=-\text{২}$, ধার নিয়ে $\text{১০}-\text{১০}=\text{০০}$

অনুশীলনী

1. $A=\text{১},B=\text{০},B_{in}=\text{০}$ হলে $D$ ও $B_{out}$ নির্ণয় করো।
2. পূর্ণবিয়োগকারীতে কখন ধার-আউট $\text{১}$ হয় না?
3. $A=\text{০},B=\text{০},B_{in}=\text{১}$ হলে আউটপুট নির্ণয় করো এবং বাইনারি বিয়োগ যাচাই করো।
4. দুটি অর্ধবিয়োগকারী ও একটি অর গেট দিয়ে পূর্ণবিয়োগকারী তৈরি করলে মোট কতটি মৌলিক গেট লাগে?
5. পূর্ণবিয়োগকারী ও পূর্ণযোগকারীর বিয়োগফল/যোগফলের বুলিয়ান রাশি একই কেন ব্যাখ্যা করো।

উত্তর:

1. $D=\text{১}\oplus \text{০}\oplus \text{০}=\text{১}$, $B_{out}=\text{০}\cdot \text{০}+\text{০}\cdot \text{০}+\text{০}\cdot \text{০}=\text{০}$
2. যখন $A=\text{১},B=\text{০},B_{in}=\text{০}$ অথবা $A=\text{১},B=\text{০},B_{in}=\text{১}$ অথবা $A=\text{১},B=\text{১},B_{in}=\text{০}$ অথবা $A=\text{০},B=\text{০},B_{in}=\text{০}$
3. $D=\text{০}\oplus \text{০}\oplus \text{১}=\text{১}$, $B_{out}=\text{১}\cdot \text{০}+\text{১}\cdot \text{১}+\text{০}\cdot \text{১}=\text{১}$; বাইনারিতে $\text{০}-\text{০}-\text{১}$ ধার নিয়ে $\text{১০}-\text{০১}=\text{০১}$
4. প্রতিটি অর্ধবিয়োগকারীতে ৩টি গেট (এক্স-অর, নট, অ্যান্ড) + ১টি অর গেট = মোট ৭টি গেট
5. উভয় ক্ষেত্রে ফলাফল বিটটি তিনটি বিটের এক্স-অর, বিয়োজ্য, বিয়োজক/যোজক এবং তৃতীয় ইনপুট; এক্স-অর অপারেশন যোগ ও বিয়োগ উভয়ের জন্যই কাজ করে

[[টেমপ্লেট:BOOKCATEGORY]]