এই কোয়ান্টাম জগৎ/ফাইনম্যান পথ/দ্বি-চির

দ্বি-চিরবিশিষ্ট একটি পরীক্ষা

পরীক্ষার ব্যবস্থা

এই পরীক্ষায় চূড়ান্ত পরিমাপটি হলো পটভূমিতে থাকা একটি ডিটেক্টর বা শনাক্তকারী দ্বারা একটি ইলেকট্রন শনাক্ত করা। এই ডিটেক্টরটি D বিন্দুতে অবস্থিত (যেখানে D হলো x-এর একটি নির্দিষ্ট মান)। এই চূড়ান্ত পরিমাপের সম্ভাব্য ফলাফলগুলোর ওপর ভিত্তি করেই সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করা হয়। অন্যদিকে, প্রাথমিক পরিমাপের ফলাফলটি হলো একটি ইলেকট্রন গান G থেকে একটি ইলেকট্রন নিক্ষেপ করা, যার ভিত্তিতে সম্ভাব্যতা হিসাব করা হয়। (যেহেতু আমরা ধরে নিই যে কেবল G-ই মুক্ত ইলেকট্রনের একমাত্র উৎস, তাই চিরবিশিষ্ট পাতের পেছনে একটি ইলেকট্রন শনাক্ত করার অর্থ হলো পাতের সামনে থেকে একটি ইলেকট্রন নিক্ষেপ করা হয়েছে।)

সম্ভাব্য বিকল্প বা মধ্যবর্তী পথগুলো হলো:

• ইলেকট্রনটি বাম দিকের চির (L) দিয়ে গেছে,
• ইলেকট্রনটি ডান দিকের চির (R) দিয়ে গেছে।

এদের নিজ নিজ বিস্তার হলো $A_L$ এবং $A_R.$

এগুলো হিসাব করার জন্য আমাদের যা জানা প্রয়োজন:

• $A_L$ হলো দুটি জটিল সংখ্যার গুণফল। এদের প্রকাশের জন্য আমরা $⟨D|L⟩$ এবং $⟨L|G⟩.$ প্রতীক দুটি ব্যবহার করব।
• একইভাবে, $A_R=⟨D|R⟩⟨R|G⟩.$
• $⟨B|A⟩$-এর পরম মান A ও B-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব $d(BA)$-এর ব্যস্তানুপাতিক।
• $⟨B|A⟩$-এর দশা $d(BA).$-এর সমানুপাতিক।

স্পষ্ট কারণেই $⟨B|A⟩$-কে একটি প্রোপাগেটর বলা হয়।

গুণফল কেন?

অনিশ্চয়তা সম্পর্কের কথা স্মরণ করুন, যা নির্দেশ করে যে $\mathrm{\Delta }x\to 0.$ হলে $\mathrm{\Delta }p\to \mathrm{\infty }$ হবে। এই সীমায় কণাটির ভরবেগ সম্পূর্ণ অনির্দিষ্ট থাকে, অর্থাৎ এর কোনো নির্দিষ্ট মান থাকে না। ফলে, একটি কণাকে সর্বশেষ A বিন্দুতে দেখার পর সেটিকে B বিন্দুতে পাওয়ার সম্ভাব্যতা কেবল তার প্রাথমিক অবস্থান A-এর ওপর নির্ভর করে। এর পেছনে কোনো প্রাথমিক ভরবেগের ভূমিকা থাকে না, কারণ তখন ভরবেগের কোনো অস্তিত্বই নেই।

অতএব, A-তে শনাক্ত হওয়ার পর কণাটির পরবর্তী আচরণ তার পূর্ববর্তী আচরণের ওপর নির্ভর করে না। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ভাষায় এর অর্থ হলো, G থেকে L-এ কণাটির সঞ্চারণ এবং L থেকে D-তে তার সঞ্চারণ দুটি সম্পূর্ণ স্বাধীন ঘটনা। তাই L চিরের মধ্য দিয়ে G থেকে D-তে সঞ্চারণের সম্ভাব্যতা হলো এদের পৃথক সম্ভাব্যতাগুলোর গুণফল। একইভাবে, L চিরের মধ্য দিয়ে G থেকে D-তে সঞ্চারণের বিস্তার হলো এদের নিজ নিজ বিস্তারের গুণফল $⟨D|L⟩⟨L|G⟩$।

পরম মান দূরত্বের ব্যস্তানুপাতিক কেন?

মনে করুন, (i) A বিন্দুকে কেন্দ্র করে $r$ ব্যাসার্ধের একটি গোলক রয়েছে এবং (ii) একটি ডিটেক্টর এই গোলকের পৃষ্ঠের একক ক্ষেত্রফল পর্যবেক্ষণ করছে। গোলকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $r^2$-এর সমানুপাতিক। আবার একটি মুক্ত কণার ক্ষেত্রে পুরো পৃষ্ঠতল জুড়ে প্রতি একক ক্ষেত্রফলে শনাক্ত হওয়ার সম্ভাব্যতা ধ্রুবক থাকে (কেন, তা ভেবে দেখুন!)। তাই প্রতি একক ক্ষেত্রফলে কণাটি শনাক্ত হওয়ার সম্ভাব্যতা $r^2$-এর ব্যস্তানুপাতিক। যেহেতু প্রতি একক ক্ষেত্রফলে শনাক্তকরণের বিস্তারের পরম মান হলো সম্ভাব্যতার বর্গমূল, তাই এটি $r$-এর ব্যস্তানুপাতিক হয়।

দশা দূরত্বের সমানুপাতিক কেন?

পরপর থাকা প্রোপাগেটরগুলোর গুণনশীল ধর্ম এদের দশাগুলোর যোগাত্মক ধর্মকে নির্দেশ করে। তাছাড়া, একটি মুক্ত কণার ক্ষেত্রে প্রোপাগেটর $⟨B|A⟩$ (এবং ফলস্বরূপ এর দশা) কেবল A ও B-এর মধ্যবর্তী দূরত্বের ওপর নির্ভর করতে পারে। এই দুটি বিষয় একত্রে নির্দেশ করে যে, $⟨B|A⟩$-এর দশা $d(BA)$-এর সমানুপাতিক।

ব্যতিচার নকশা নির্ণয়

নিয়ম এ অনুযায়ী, G থেকে নিক্ষিপ্ত একটি ইলেকট্রনকে D বিন্দুতে শনাক্ত করার সম্ভাব্যতা হলো:

$p_A(D)=|⟨D|L⟩⟨L|G⟩{|}^2+|⟨D|R⟩⟨R|G⟩{|}^2.$

যদি চির দুটি G থেকে সমদূরবর্তী হয়, তবে $⟨L|G⟩$ এবং $⟨R|G⟩$ সমান হবে। সেক্ষেত্রে $p_A(D)$ নিচের রাশির সমানুপাতিক হবে:

$|⟨D|L⟩{|}^2+|⟨D|R⟩{|}^2=1/d^2(DL)+1/d^2(DR).$

এখানে ডিটেক্টরের অবস্থান $x$-এর বিপরীতে $p_A$-এর প্রাপ্ত লেখচিত্র দেওয়া হলো:

নিয়ম এ অনুযায়ী শনাক্তকরণের সম্ভাব্য আপেক্ষিক কম্পাঙ্ক

$p_A(x)$ (টানা রেখা) হলো দুটি বিন্যাসের (বিন্দুযুক্ত রেখা) যোগফল। এর একটি হলো L চির দিয়ে যাওয়া ইলেকট্রনগুলোর জন্য এবং অন্যটি হলো R চির দিয়ে যাওয়া ইলেকট্রনগুলোর জন্য।

নিয়ম বি অনুযায়ী, G থেকে নিক্ষিপ্ত একটি ইলেকট্রনকে D বিন্দুতে শনাক্ত করার সম্ভাব্যতা $p_B(D)$ নিচের রাশির সমানুপাতিক:

$|⟨D|L⟩+⟨D|R⟩{|}^2=1/d^2(DL)+1/d^2(DR)+2\cos (k\mathrm{\Delta })/[d(DL)d(DR)],$

এখানে $\mathrm{\Delta }$ হলো দূরত্বের পার্থক্য $d(DR)-d(DL)$ এবং $k=p/\hslash$ হলো তরঙ্গসংখ্যা । এই তরঙ্গসংখ্যাটি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা আসন্ন মান বের করার জন্য যথেষ্ট সুনির্দিষ্ট। (বলাই বাহুল্য, আপনার এই ফলাফলটি নিজে যাচাই করে দেখা উচিত।)

তরঙ্গসংখ্যা, চির দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব এবং চিরবিশিষ্ট পাত ও পটভূমির মধ্যবর্তী দূরত্বের একটি নির্দিষ্ট মানের সেটের জন্য $x$-এর বিপরীতে $p_B$-এর লেখচিত্র নিচে দেওয়া হলো:

নিয়ম বি অনুযায়ী শনাক্তকরণের সম্ভাব্য আপেক্ষিক কম্পাঙ্ক

লক্ষ করুন, অবম বিন্দুগুলোর কাছাকাছি উভয় চির খোলা থাকলে কণা শনাক্তকরণের সম্ভাব্যতা একটি চির বন্ধ থাকার চেয়েও কম হয়। অবম বিন্দুগুলোতে ধ্বংসাত্মক ব্যতিচার এবং চরম বিন্দুগুলোতে গঠনমূলক ব্যতিচার ঘটে বলাটা প্রচলিত। তবে এটিকে কোনো ভৌত প্রক্রিয়ার বাস্তব বর্ণনা হিসেবে বিবেচনা করবেন না। "গঠনমূলক ব্যতিচার" বলতে আমরা কেবল এটাই বোঝাই যে, নিয়ম বি অনুযায়ী হিসাবকৃত সম্ভাব্যতা নিয়ম এ অনুযায়ী হিসাবকৃত সম্ভাব্যতার চেয়ে বেশি। একইভাবে, "ধ্বংসাত্মক ব্যতিচার" বলতে বোঝায় যে, নিয়ম বি অনুযায়ী হিসাবকৃত সম্ভাব্যতা নিয়ম এ অনুযায়ী হিসাবকৃত সম্ভাব্যতার চেয়ে কম।

এখানে সময়ের সাথে সাথে একটি ব্যতিচার নকশা কীভাবে ধাপে ধাপে তৈরি হয় তা দেখানো হলো:

• 
  ১০০টি ইলেকট্রন
• 
  ৩০০০টি ইলেকট্রন
• 
  ২০০০০টি ইলেকট্রন
• 
  ৭০০০০টি ইলেকট্রন